Bac Maths D, Niger 2017

 

On considère l'équation : $$(E)\ :\ z^{3}-9z^{2}+(22+12\mathrm{i})z-12-36\mathrm{i}=0$$  

 

3) Démontrer que l'équation $(E)$ admet une solution réelle $z_{1}$ et une solution imaginaire pure $z_{2}.$

 

4) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E).$

 

5) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A}=3$, $z_{B}=2\mathrm{i}$ et $z_{C}=6-2\mathrm{i}$

 

a) Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.

 

b) Montrer que : $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ est réel. 

 

Que peut-on en déduire ?

 

c) Soit $S$ la similitude directe plane d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$ transformant $A$ en $B.$

 

Donner l'écriture complexe de $S$ et préciser son centre $\Omega.$

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)\,n\in\mathbb{N}$ définie par :

$$U_{0}=1\;,\ U_{1}2\quad\text{et}\quad U_{n+2}=\sqrt{U_{n+1}\times U_{n}}$$

 

1) Calculer $U_{2}$, $U_{3}$ et $U_{4}.$

 

2) On considère la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=\ln U_{n}.$

 

Montrer que la suite $(v_{n})$ vérifie pour tout entier naturel $n$ ∶ $$v_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(v_{n+1}+v_{n}\right)$$

 

3) On définit les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ par : $$x_{n}=v_{n+1}-v_{n}\quad\text{et}\quad y_{n}=v_{n+1}+\dfrac{1}{2}v_{n}$$

 

a) Montrer que, $(x_{n})$ est suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$

 

b) Montrer que, $(y_{n})$ est suite constante.

 

c) Vérifier que $v_{n}=\dfrac{2}{3}(y_{n}-x_{n})$ puis en déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n.$

 

4) a) Montrer que $U_{n}=\left[\mathrm{e}^{\dfrac{2}{3}\ln 2}\right]^{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}}$

 

b) En déduire que $\left(U_{n}\right)$ converge et calculer sa limite.

Soit la fonction $g$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par $g(x)=2x^{2}+\ln x$

 

4) Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variation.

 

5) a) Montrer que $g(x)=0$ admet une et une seule solution $\alpha$ sur $]0\;,\ +\infty[$

 

b) Montrer que $0.548<\alpha<0.549$

 

3) Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x.$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par : $$f(x)=1-x+\dfrac{1+\ln x}{2x}$$

 

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ ayant comme unité graphique $4\,cm.$

 

1) a) Déterminer la limite de $f$ en $0.$ 

 

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

 

b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty.$

 

c) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=1-x$ est asymptote à $(\mathcal{C}).$ 

 

Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'asymptote $(D).$

 

2) a) Calculer $f'(x)$ et que $f'(x)=\dfrac{-g(x)}{2x^{2}}$

 

b) Dresser le tableau de variation de $f$

 

3) a) Montrer que $f(\alpha)=1-2\alpha+\dfrac{1}{2\alpha}$

 

b) Donner alors un encadrement de $f(\alpha)$ à $10^{-2}$ près.

 

4) a) Calculer les coordonnées du point de $(\mathcal{C})$ où la tangente est parallèle à $(D).$ 

 

Donner une équation de cette tangente $T.$

 

b) Tracer $(\mathcal{C})$, $(D)$ et $(T)$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

c) Soit $\lambda$ un réel supérieur à $\dfrac{1}{\mathrm{e}}.$

 

Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan comprise entre $(\mathcal{C})$, $(D)$ et les droites d'équation $x=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\quad\text{et}\quad x=\lambda$

Calculer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty.$