Bac Maths D, Togo 2010

Exercice 1

On considère un groupe de 16 personnes parmi lesquelles 4 ont une caractéristique C. 
 
ces quatre personnes sont dites de types C. 
 
on prend simultanément au hasard 5 personnes dans ce groupe.  
 
1. Calculer la probabilité de chacun des évènements : 
 
A : « n'avoir, parmi ces 5 personnes ; aucune du type C » 
 
B : « avoir exactement une personne de type C » 
 
C : « avoir au moins deux  personnes de type C » 
 
On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 
 
2. On constate après enquête que dans la population entière, la répartition est de des personnes de types C est de 1 sur 4. 
 
On estime que la population suffisamment nombreuse pour que le tirage de n personnes soit assimilable à n tirages successifs indépendants avec remise. 
 
On prend au hasard n personnes (n2) et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de celles du type C.
 
a) Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
 
b) Calculer la probabilité p(X=0) ; p(X=1). 
 
c) En déduire la probabilité pn d'avoir au moins deux personnes de type C. 
 
d) Démontrer que pn0.9 si et seulement si : 
(34)n1(3+n4)0.1. 
 
e) On pose Un=(34)n1(3+n4).
 
Comparer un+1unet 1. 
 
Quel est le sens de variation de (un)

Exercice 2  

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u ; v).

On désigne par T l'application de (P) vers (P) qui à tout point M d'affixe z associe le point M d'affixe z telle que : z=(1+i)zi.

1. Montrer que T est la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport positif dont on donnera les éléments caractéristiques.

On note Ω le point invariant par T.

Donner une mesure de l'angle orienté (ΩM ; MM) en supposant MΩ.

2. a) Construire M image de M par TM est un point donné distinct de Ω.  

b) Déterminer l'image (D) par T de la droite (D) d'équation y=x.

Construire (D).

3. a) Montrer que qu'il existe un point B du plan tel que distinct de Ω et un seul réel tel que les affixes z0 et z0 de B (image de B par T) soient liés par la relation  z0z0A=1.

Placer les points B et B dans le repère.            

b) Soit  Ω le symétrique de Ω par rapport à O.

Montrer que les points Ω, Ω ; B et B sont cocycliques.

Déterminer l'affixe du centre G du cercle (Γ) passant par les  points Ω, Ω, B et B.

Exercice 3 Problème  

Partie A  

Soit f la fonction définie sur R par :f(x)=1x2ex

1. Étudier les variations de f.

2. Déduire de cette étude que l'équation f(x)=0 à une solution et une seule, notée α.

Donner une valeur approchée à 102 près de α.

3. Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé (unité graphique choisie est 2cm).

Préciser s'il y a lieu, les tangente horizontales.  

4. a) Montrer que pour tout x0, ex1.

b) Soit λ un réel positif.

Montrer que 0λ0x2exdxγ33.

Partie B  

1. Vérifier que pour tout réel x, f

f' et f'' désignent la dérivée première et seconde de f.

2. On note F la primitive de f sur \mathbb{R} qui s'annule pour x=0.

Donner la valeur explicite de F(x) pour tout réel x.

3. a) Calculer l'aire \mathcal{A}(\gamma) en cm^{2} de la partie du plan limitée par la courbe (\mathcal{C}) et les droites d'équations y=1 ; x=0 et x=\gamma\gamma est un réel positif.

b) Déterminer la limite de \mathcal{A}(\gamma) lorsque \gamma tend vers +\infty.

Partie C   

On se propose de résoudre l'équation différentielle du second ordre, de fonction inconnue y \left(E_{1}\right)\ :\ y''+2y'+y=-2\mathrm{e}^{-x}+1

La fonction f est solution de \left(E_{1}\right), d'après la question B.1.

1. Résoudre l'équation \left(E_{2}\right)\ :\ y''+2y'+y=0.

2. La fonction I étant une solution définie sur \mathbb{R} de l'équation \left(E_{2}\right), démontrer que g + f est solution de l'équation \left(E_{1}\right).

Réciproquement, soit h une solution  de \left(E_{1}\right).

Démontrer que h-f est solution d'\left(E_{2}\right).

3. Déterminer la solution \varphi de \left(E_{1}\right) telle que \varphi(0)=\varphi'(0)=0.

Partie D

Étant donné un réel a, on note g_{a}I la fonction définie sur \mathbb{R} par : g_{a}(x)(-x^{2}+ax+a)\mathrm{e}^{-x}+1.

1. Montrer que les courbes \left(\mathcal{C_{a}}\right) représentatives de g_{a} passent toutes par un même point fixe I.

2. On suppose a\neq −2.

Démontrer alors que la fonction g_{a} admet deux extrémums, dont l'un est obtenu pour x=0.

3. On note M_{a} le point d'abscisse a+2 sur la courbe.

Lorsque a varie, M_{a} décrit une courbe.

Donner une équation cartésienne de la courbe.

 

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