Bac Maths D, Togo 2010

Exercice 1

On considère un groupe de 16 personnes parmi lesquelles 4 ont une caractéristique C. 
 
ces quatre personnes sont dites de types C. 
 
on prend simultanément au hasard 5 personnes dans ce groupe.  
 
1. Calculer la probabilité de chacun des évènements : 
 
A : « n'avoir, parmi ces 5 personnes ; aucune du type C » 
 
B : « avoir exactement une personne de type C » 
 
C : « avoir au moins deux  personnes de type C » 
 
On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 
 
2. On constate après enquête que dans la population entière, la répartition est de des personnes de types C est de 1 sur 4. 
 
On estime que la population suffisamment nombreuse pour que le tirage de n personnes soit assimilable à n tirages successifs indépendants avec remise. 
 
On prend au hasard n personnes (n2) et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de celles du type C.
 
a) Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
 
b) Calculer la probabilité p(X=0) ; p(X=1). 
 
c) En déduire la probabilité pn d'avoir au moins deux personnes de type C. 
 
d) Démontrer que pn0.9 si et seulement si : 
(34)n1(3+n4)0.1. 
 
e) On pose Un=(34)n1(3+n4).
 
Comparer un+1unet 1. 
 
Quel est le sens de variation de (un)

Exercice 2  

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u ; v).

On désigne par T l'application de (P) vers (P) qui à tout point M d'affixe z associe le point M d'affixe z telle que : z=(1+i)zi.

1. Montrer que T est la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport positif dont on donnera les éléments caractéristiques.

On note Ω le point invariant par T.

Donner une mesure de l'angle orienté (ΩM ; MM) en supposant MΩ.

2. a) Construire M image de M par TM est un point donné distinct de Ω.  

b) Déterminer l'image (D) par T de la droite (D) d'équation y=x.

Construire (D).

3. a) Montrer que qu'il existe un point B du plan tel que distinct de Ω et un seul réel tel que les affixes z0 et z0 de B (image de B par T) soient liés par la relation  z0z0A=1.

Placer les points B et B dans le repère.            

b) Soit  Ω le symétrique de Ω par rapport à O.

Montrer que les points Ω, Ω ; B et B sont cocycliques.

Déterminer l'affixe du centre G du cercle (Γ) passant par les  points Ω, Ω, B et B.

Exercice 3 Problème  

Partie A  

Soit f la fonction définie sur R par :f(x)=1x2ex

1. Étudier les variations de f.

2. Déduire de cette étude que l'équation f(x)=0 à une solution et une seule, notée α.

Donner une valeur approchée à 102 près de α.

3. Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé (unité graphique choisie est 2cm).

Préciser s'il y a lieu, les tangente horizontales.  

4. a) Montrer que pour tout x0, ex1.

b) Soit λ un réel positif.

Montrer que 0λ0x2exdxγ33.

Partie B  

1. Vérifier que pour tout réel x, f(x)+2f(x)+f(x)=2ex+1.

f et f désignent la dérivée première et seconde de f.

2. On note F la primitive de f sur R qui s'annule pour x=0.

Donner la valeur explicite de F(x) pour tout réel x.

3. a) Calculer l'aire A(γ) en cm2 de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d'équations y=1 ; x=0 et x=γγ est un réel positif.

b) Déterminer la limite de A(γ) lorsque γ tend vers +.

Partie C   

On se propose de résoudre l'équation différentielle du second ordre, de fonction inconnue y (E1) : y+2y+y=2ex+1

La fonction f est solution de (E1), d'après la question B.1.

1. Résoudre l'équation (E2) : y+2y+y=0.

2. La fonction I étant une solution définie sur R de l'équation (E2), démontrer que g+f est solution de l'équation (E1).

Réciproquement, soit h une solution  de (E1).

Démontrer que hf est solution d(E2).

3. Déterminer la solution φ de (E1) telle que φ(0)=φ(0)=0.

Partie D

Étant donné un réel a, on note gaI la fonction définie sur R par : ga(x)(x2+ax+a)ex+1.

1. Montrer que les courbes (Ca) représentatives de ga passent toutes par un même point fixe I.

2. On suppose a2.

Démontrer alors que la fonction ga admet deux extrémums, dont l'un est obtenu pour x=0.

3. On note Ma le point d'abscisse a+2 sur la courbe.

Lorsque a varie, Ma décrit une courbe.

Donner une équation cartésienne de la courbe.

 

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