Bac Maths D, Togo 2010
Exercice 1
Exercice 2
On désigne par T l'application de (P) vers (P) qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ telle que : z′=(1+i)z−i.
1. Montrer que T est la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport positif dont on donnera les éléments caractéristiques.
On note Ω le point invariant par T.
Donner une mesure de l'angle orienté (→ΩM ; →MM′) en supposant M≠Ω.
2. a) Construire M′ image de M par T où M est un point donné distinct de Ω.
b) Déterminer l'image (D′) par T de la droite (D) d'équation y=x.
Construire (D′).
3. a) Montrer que qu'il existe un point B du plan tel que distinct de Ω et un seul réel tel que les affixes z0 et z′0 de B′ (image de B par T) soient liés par la relation z0z′0A=1.
Placer les points B et B′ dans le repère.
b) Soit Ω′ le symétrique de Ω par rapport à O.
Montrer que les points Ω′, Ω ; B et B′ sont cocycliques.
Déterminer l'affixe du centre G du cercle (Γ) passant par les points Ω′, Ω, B et B′.
Exercice 3 Problème
Partie A
1. Étudier les variations de f.
2. Déduire de cette étude que l'équation f(x)=0 à une solution et une seule, notée α.
Donner une valeur approchée à 10−2 près de α.
3. Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé (unité graphique choisie est 2cm).
Préciser s'il y a lieu, les tangente horizontales.
4. a) Montrer que pour tout x≥0, ex≥1.
b) Soit λ un réel positif.
Montrer que 0≤∫λ0x2exdx≤γ33.
Partie B
Où f' et f'' désignent la dérivée première et seconde de f.
2. On note F la primitive de f sur \mathbb{R} qui s'annule pour x=0.
Donner la valeur explicite de F(x) pour tout réel x.
3. a) Calculer l'aire \mathcal{A}(\gamma) en cm^{2} de la partie du plan limitée par la courbe (\mathcal{C}) et les droites d'équations y=1 ; x=0 et x=\gamma où \gamma est un réel positif.
b) Déterminer la limite de \mathcal{A}(\gamma) lorsque \gamma tend vers +\infty.
Partie C
La fonction f est solution de \left(E_{1}\right), d'après la question B.1.
1. Résoudre l'équation \left(E_{2}\right)\ :\ y''+2y'+y=0.
2. La fonction I étant une solution définie sur \mathbb{R} de l'équation \left(E_{2}\right), démontrer que g + f est solution de l'équation \left(E_{1}\right).
Réciproquement, soit h une solution de \left(E_{1}\right).
Démontrer que h-f est solution d'\left(E_{2}\right).
3. Déterminer la solution \varphi de \left(E_{1}\right) telle que \varphi(0)=\varphi'(0)=0.
Partie D
1. Montrer que les courbes \left(\mathcal{C_{a}}\right) représentatives de g_{a} passent toutes par un même point fixe I.
2. On suppose a\neq −2.
Démontrer alors que la fonction g_{a} admet deux extrémums, dont l'un est obtenu pour x=0.
3. On note M_{a} le point d'abscisse a+2 sur la courbe.
Lorsque a varie, M_{a} décrit une courbe.
Donner une équation cartésienne de la courbe.
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