Bac Maths D, Togo 2010
Exercice 1
Exercice 2
On désigne par T l'application de (P) vers (P) qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ telle que : z′=(1+i)z−i.
1. Montrer que T est la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport positif dont on donnera les éléments caractéristiques.
On note Ω le point invariant par T.
Donner une mesure de l'angle orienté (→ΩM ; →MM′) en supposant M≠Ω.
2. a) Construire M′ image de M par T où M est un point donné distinct de Ω.
b) Déterminer l'image (D′) par T de la droite (D) d'équation y=x.
Construire (D′).
3. a) Montrer que qu'il existe un point B du plan tel que distinct de Ω et un seul réel tel que les affixes z0 et z′0 de B′ (image de B par T) soient liés par la relation z0z′0A=1.
Placer les points B et B′ dans le repère.
b) Soit Ω′ le symétrique de Ω par rapport à O.
Montrer que les points Ω′, Ω ; B et B′ sont cocycliques.
Déterminer l'affixe du centre G du cercle (Γ) passant par les points Ω′, Ω, B et B′.
Exercice 3 Problème
Partie A
1. Étudier les variations de f.
2. Déduire de cette étude que l'équation f(x)=0 à une solution et une seule, notée α.
Donner une valeur approchée à 10−2 près de α.
3. Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé (unité graphique choisie est 2cm).
Préciser s'il y a lieu, les tangente horizontales.
4. a) Montrer que pour tout x≥0, ex≥1.
b) Soit λ un réel positif.
Montrer que 0≤∫λ0x2exdx≤γ33.
Partie B
Où f′ et f″ désignent la dérivée première et seconde de f.
2. On note F la primitive de f sur R qui s'annule pour x=0.
Donner la valeur explicite de F(x) pour tout réel x.
3. a) Calculer l'aire A(γ) en cm2 de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d'équations y=1 ; x=0 et x=γ où γ est un réel positif.
b) Déterminer la limite de A(γ) lorsque γ tend vers +∞.
Partie C
La fonction f est solution de (E1), d'après la question B.1.
1. Résoudre l'équation (E2) : y″+2y′+y=0.
2. La fonction I étant une solution définie sur R de l'équation (E2), démontrer que g+f est solution de l'équation (E1).
Réciproquement, soit h une solution de (E1).
Démontrer que h−f est solution d′(E2).
3. Déterminer la solution φ de (E1) telle que φ(0)=φ′(0)=0.
Partie D
1. Montrer que les courbes (Ca) représentatives de ga passent toutes par un même point fixe I.
2. On suppose a≠−2.
Démontrer alors que la fonction ga admet deux extrémums, dont l'un est obtenu pour x=0.
3. On note Ma le point d'abscisse a+2 sur la courbe.
Lorsque a varie, Ma décrit une courbe.
Donner une équation cartésienne de la courbe.
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