Bac Maths D, Togo 2013
Exercice 1
Soit a un nombre complexe.
1. Résoudre dans C l'équation : (1+i)z2−2i(a+1)z−(i−1)(a2+1)=0
2. Soient z1 et z2 les solutions de cette équation.
Trouver entre z1 et z2 une relation indépendante de a.
3. Caractériser la transformation f du plan complexe qui à tout point M1 d'affixe z1 associe le point M2 d'affixe z2.
4. On pose z1=x+iy et z2=x′+iy′
a) Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.
b) Quelles est l'image par f de la droite (D) d'équation : x+2y−1=0.
Exercice 2
On considère les équations différentielles suivantes :
(E) : y″(x)−2my′(x)+3y(x)=2(1−2x)ex
(E′) : y″(x)−2my′(x)+3y(x)=0.
Dans laquelle m est un paramètre réel.
1. Résoudre, suivant les valeurs de m, l'équation (E′).
2. Déterminer la valeur de m pour laquelle, la fonction h définie sur R par : h(x)=x2ex est une solution de (E).
3. Dans cette partie, on donne m=2.
a) Soit φ une fonction au moins deux fois dérivable sur R.
a. 1) Démontrer que si φ est une solution de (E) alors (φ−h) est une solution de (E′).
a. 2) Démontrer que si (φ−h) est une solution de (E′) alors φ est une solution de (E).
b) Déduis de 1.
La résolution de (E′) ; puis résoudre (E).
c) Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative, dans le plan rapporté au repère orthonormé passe par le point Ω(0 ; −1) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 1.
4. Soit g la fonction définie sur R par : g(x)=(x2−2)ex+e3x et U une primitive sur R de la fonction : x→2(1−2x)e2x.
a) Sachant que g est une solution de (E), démontrer que la fonction G définie sur R par : G(x)=13[U(x)−g′(x)+4g(x)] est une primitive de g sur R.
b) Déterminer une expression de U(x) de la forme : $$U(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{x}$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.
c) En déduire G(x).
Exercice 3 Problème
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f(x)=ex−1xex+1.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →I,→J).
L'unité graphique est 2cm.
A. Soit g la fonction définie sur l'intervalle J=[0 ; +∞[ par : g(x)=x+2−ex.
1. Étudier le sens de variation de g sur J et déterminer la limite de g en +∞.
2. a) Démontrer que l'équation : g(x)=0 admet une et unique solution dans J.
On note α cette solution.
b) Prouver que 1.14<α<1.15.
3. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
B.
1. a) Démontrer que, pour tout x appartenant à J, f′(x)=exg(x)(xex+1)2.
b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur J.
2. a) Démontrer que, pour tout réel positif x, f(x)=1−exx+ex
b) En déduire la limite de f en +∞ puis interpréter graphiquement le résultat trouvé.
3. a) Établir que : f(α)=1α+1.
b) En utilisant l'encadrement de α établi dans la question A. 2, donner un encadrement de f(α) d'amplitude 10−2.
4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.
5. a) Établir que pour tout x appartenant à J, f(x)−x=(x+1)φ(x)xex+1 avec φ(x)=ex−xex−1
b) Étudier le sens de variation de φ sur J.
En déduire le signe de φ(x) sur J.
c) Déduire des questions précédentes la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).
d) Tracer (C) et (D).
C.
1. Déterminer une primitive F de f sur J, on pourra utiliser l'expression de f(x) établi en B.
5. a. On note D le domaine du plan limité par la courbe (C), la tangente (T), les droites d'équations x=0 et x=1.
2. Calculer en cm2, l'aire A du domaine D.
3. Pour tout entier naturel k, on pose VK=∫x+1Kf(x)dx.
a) Calculer V0, V1 et V2.
b) Démontrer que pour tout entier naturel k≥2, f(k+1)≤VK≤f(k).
c) Déduire la imite de VK quand k tend vers +∞.
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