Bac Maths D, Togo 2014

Soit l'équation $$(E)\ :\ z\in\mathbb{C}\;,\ z^{n}=\dfrac{-9\sqrt{3}+27\mathrm{i}}{2}\;,\quad n\in\mathbb{N^{\ast}}$$

1. Déterminer les solutions $z_{k}$ de $(E).$

2. On pose $n=5.$

Représenter dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ les points images de solutions $z_{k}$ de $(E).$

3. On pose $\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}.$

a) Soit $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, exprimer $\alpha$ en fonction de $\vec{j}.$

b) Montrer que $\alpha$ est une solution de $z^{5}=\dfrac{-9\sqrt{3}+27\mathrm{i}}{2}$

4. Soit la transformation $\mathcal{T}$ de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$, qui au point $M$ de $\mathcal{P}$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tels que :  $$z'=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\right)z+\dfrac{5+\sqrt{3}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}.$$
 
a) Écrire la forme algébrique de nombre complexe $\omega=(1-\mathrm{i})(2+\sqrt{3}+3\mathrm{i}).$
 
b) Donner la nature de $\mathcal{T}$ et préciser ses éléments caractéristiques. 

Un secteur de production d'une entreprise est composé de $3$ catégories de personnel : les ingénieurs, les opérateurs de production et les agents de maintenances.

Il y a $8\%$ d'ingénieurs, $80\%$ d'opérateur de productions.

Les femmes représentent $50\%$ des ingénieurs, $25\%$ des agents de maintenances et $60\%$ des opérateurs de productions.

On interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise.

On note :  

$-\ \ M$ l'évènement « Le personnel interrogé est un agent de maintenance ».

$-\ \ N$ l'évènement « Le personnel interrogé est un agent de production ».

$-\ \ P$ l'évènement « Le personnel interrogé est un ingénieur ».

$-\ \ Q$ l'évènement « Le personnel interrogé est une femme ».

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d'interroger :  

a) Un agent de maintenance

b) Une femme agent de maintenance

c) Une femme

3. Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne.

Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :

$-\ $ La probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à $0.002$.

$-\ $ La probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est de $0.003$.

$-\ $ La probabilité qu'une panne se produise est égale à $0.04$  On note :  

$-\ $ L'évènement : « L'alarme se déclenche »

$-\ $ L'évènement : « une panne se produit »

a) Démontrer que la probabilité qu'une panne se produise et l'alarme se déclenche est égale à $0.037.$

b) Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.

c) Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.

A. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&−x+\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}-3\;,&\text{si }x<0\\\\ f(x)&=&2x^{2}\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}-2\;,&\text{si }x\geq 0 \end{array}\right\rbrace$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ d'unité graphique $1\,cm.$

1. a) Étudier la continuité de $f$ en $0.$

b) Montrer que pour tout réel non nul $u$ on a :

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\dfrac{x}{u}}-1}{x}=\dfrac{1}{u}$
 
c) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x)+2}{x}$  et  $\lim\limits{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)+2}{x}.$
 
Interpréter analytiquement et géométriquement les résultats obtenus.      

2. Étudier le sens de variation de et dresser son tableau de variation.      

3. a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ telles que $\alpha<0\quad\beta<1.$             

b) Vérifier que $-2.75<\alpha<-2.74$

B. On pose $g(x)=\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{4}}$  et  $I=[0\ ;\ 1]$    

1. Montrer que $\beta$ est l'unique solution de l'équation : $x>0\;,\ g(x)=x.$

2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $I\;,\ g(x)\in I.$     
 
3. Soit $g'$ la fonction dérivée de $g.$
 
Montrer que pour tout $x$ de $I$ on a : $|g'(x)|\leq\dfrac{1}{4}.$
 
4. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{0}=1$ et pour entier naturel $n$, $U_{n+1}=g\left(U_{n}\right).$         
    
a) Démontrer par récurrence que $\left(U_{n}\right)$ est une suite d'élément de $I.$          
    
b) En appliquant les inégalités des accroissements finis, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $\left|U_{n+1}-\beta\right|\leq\dfrac{1}{4}\left|U_{n}-\beta\right|$ puis que $\left|U_{n}-\beta\right|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}$         

c) En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite.         

d) Déterminer le plus petit entier naturel $n_{0}$ pour lequel $U_{n_{0}}$ est une approximation de $\beta$ à $10^{-3}$ près.         

e) Calculer la valeur correspondante de $U_{n_{0}}.$
 

C. 

1. a) Montre que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=-x-3$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $-\infty.$     

b) Étudier l'autre branche infinie.

2. Construire avec soin $(\Delta)$, $(\mathcal{C})$ dans le même repère ; $($on prendra $\alpha\approx +2.7$  et  $\beta\approx 0.8).$

3. a) Par des intégrations par partie, calculer $$I_{\beta}=\int^{\beta}_{0} f(x)\mathrm{d}x.$    

b) Exprimer l'aire $\mathcal{A}(\alpha\ ;\ \beta)$ du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses  et les droites d'équations $x=\alpha$  et  $x=\beta$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$ seulement.