Bac Maths D, Togo 2016

Exercice 1

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :  
$$I=\int_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^{2}+2}\mathrm{d}x\ ;\ J=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\mathrm{d}x\ ;\ K=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\mathrm{d}x$$
                      
1. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\ ;\ 1]$ par : $$f(x)= \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+2}\right)\mathrm{d}x$$ , où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

a) Montrer que $f$ est une primitive de la fonction $x\rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}$ sur $[0\ ;\ 1].$

b) En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I.$

2. a) Sans calculer explicitement $J$ et $K$, montrer que $K=J+2I.$

b) A l'aide d'une intégration par partie portant sur $K$, montrer que : $K=\sqrt{3}-J.$      

3. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $K$ et $J.$

Exercice 2

Pour analyser le fonctionnement d'une machine, on note mois par mois, ses pannes et on remarque que :  

$-\ $ Sur un mois, la machine tombe au plus une fois en panne.

$-\ $ Si pendant le mois m la machine n'a pas de panne, la probabilité qu'elle en ait une le mois suivant $m+1$ est $0.24.$

$-\ $ Si la machine tombe en panne le mois $m$ (ce qui entraine sa révision), la probabilité qu'elle tombe en panne le mois suivant $m+1$ est $0.04.$

$-\ $ La probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est $0.1.$

On désigne par $E_{n}$ l'évènement « la machine tombe en panne le nième mois suivant sa mise en service ».

Si $A$ est un évènement, $\bar{A}$ représentera son contraire.
 
On note $P_{n}$ la probabilité de $E_{n}$ $($on a ainsi $P_{1}=0.1).$

1. a) Donner les valeurs numériques des probabilités de « $E_{n+1}$ sachant $E_{n}$ » et de « $E_{n+1}$ sachant $\bar{E_{n}}$ ».

b) Exprimer les probabilités de « $E_{n+1}$ et $E_{n}$ » et de « $E_{n+1}$ et $\bar{E_{n}}$ » en fonction de $P_{n}.$

c) Utiliser les questions précédentes pour montrer que pour tout entier naturel
 
$n\geq 1$, on a : $P_{n+1}=0.24-0.2P_{n}.$

2. a) Résoudre l'équation : $P=0.24-0.2P_{n}.$       

b) Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose : $U_{n}=P_{n}-P.$                    

Calculer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}.$                     

En déduire les expressions de $U_{n}$ et de $P_{n}$ en fonction de $n.$      

c) Montrer que la suite $\left(P_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 3 Problème

Soit, pour tout entier naturel $k$ non nul, la fonction $f_{k}$ définie sur $I=]0\ ;\ +\infty[$ par $f_{k}(x)=x-k-\dfrac{k\ln x}{x}.$

La représentation graphique de $f_{k}$ dans un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ orthonormal est notée $\left(\mathcal{C}_{k}\right).$

Partie A 

1. Soit pour tout entier naturel $k$, la fonction $g_{k}$ définie par : $$g_{k}(x)=x^{2}-k+k\ln x.$$

a) Étudier le sens de variation de $g_{k}$, préciser ses limites en $0$ et en $+\infty.$

b) Montrer que l'équation $g_{k}(x)=0$ admet une solution unique notée $\alpha_{k}$ et que cette solution appartient à l'intervalle $[1\ ;\ 3].$

2. Établir que pour $x$ élément de l'intervalle $I$, $f_{k}'(x)=\dfrac{g_{k}(x)}{x^{2}}.$

Étudier le signe de $g_{k}(x)$ et en déduire le sens de variation de $f_{k}.$
 
3. a) Étudier les limites de $f_{k}$ en $0$ et en $+\infty.$
 
b) Montrer que la droite $\left(D_{k}\right)$ d'équation $y=x-k$ est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{k}\right).$
 
c) Étudier la position de $\left(\mathcal{C}_{k}\right)$ par rapport à $\left(D_{k}\right).$ 

Partie B  

Étude des cas particuliers $k=1$ et $k=2.$

1. $\alpha_{k}$ étant le nombre défini en A.1 montrer que : $\alpha_{1}=1$ et $1.2<\alpha_{2}<1.3.$

2. a) Montrer que : $f_{2}\left(\alpha_{2}\right)=-2-\dfrac{2}{\alpha_{2}}.$$

b) Utiliser l'encadrement de $\alpha_{2}$ pour donner un encadrement de $f_{2}\left(\alpha_{2}\right).$

3. Donner les tableaux de variations de $f_{1}$ et $f_{2}.$

4. Représenter dans le repère les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ puis les courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right).$

5. Calculer en $cm^{2}$ la valeur exacte de l'aire $S_{1}$ de la partie du plan comprise entre $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et les droites d'équations respectives $x=1 ; x=2$ et $y=x-1.$

Partie C

1. Pour tout entier $k$ non nul et pour tout réel $x$ de $I$, calculer $f_{k+1}(x)-f_{k}(x).$

Calculer la limite de cette différence lorsque $x$ tend vers $+\infty.$

2. Soit $h$ la fonction définie sur $I$ par : $$h(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}$$

a) Étudier le sens de variation de $h$ ; préciser ses limites en $0$ et en $+\infty.$
 
b) Déduire que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ et que $\beta\in]0\ ;\ 1[.$

c) Montrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, $f_{k}(\beta)=\beta.$

3. a) A l'aide des résultats obtenus dans les questions 1. et 2. de cette partie $\mathcal{C}$, établir que toutes les courbes $\left(\mathcal{C}_{k}\right)$ se coupent en un point $A$ que l'on placera sur la figure

b) Pour $k\in\mathbb{N^{\ast}}$, préciser les positions relatives de $\left(\mathcal{C}_{k+1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{k}\right).$