Bac Maths D, Togo 2018
Exercice 1
1. a) Résoudre dans C l'équation (E) : Z2+2Z+2+0.
On désigne par z1 la solution de (E) dont la partie imaginaire est négative et par z2 l'autre solution.
b) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, →u, →v) d'unité graphique 2cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives z1, z2 et z3=√3−1.
Placer les points A, B et C.
c) Déterminer le module et l'argument du nombre complexe z=z3−z1z2−z1
d) En déduire la nature du triangle ABC.
2. Trouver les fonctions numériques f, deux fois dérivables telle que : f″, où f' et f'' désignent les dérivées première et seconde de f.
3. On considère l'équation différentielle : (1)\quad :\ y''+by'+cy=0 où a, b et c sont des entiers naturels appartenant à l'ensemble {1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6}.
On dispose de trois urnes contenant chacune 6 boules identiques numérotées de 1 à 6.
On tire au hasard une boule de chaque urne et on note le numéro de la boule tirée.
La première urne donne la valeur a, la deuxième celle de b et la troisième urne la valeur de c.
a) on suppose que b=c=2a.
Soient les fonctions F\ :\ x\rightarrow(A\cos x+B\sin x)\mathrm{e}^{-x} où A et B sont des nombres réels.
Justifier que les fonctions F sont les solutions de l'équation (1).
b) Déterminer l'ensemble des triplets (a\ ;\ b\ ;\ c) pour que F soient solutions de (1).
c) Montrer que la probabilité pour qu'on ait le triplet (1\;,\ 2\;,\ 2) est égale à \dfrac{1}{216}.
d) Déterminer la probabilité pour que F soient solutions de (1).
Exercice 2
Soit \left(I_{n}\right)n\in\mathbb{N} la suite définie par : I_{n}=\int_{0}^{1}(1-u)^{n}\sqrt{u}\mathrm{d}u.
1. a) Démontrer que \forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ I_{n}\geq 0.
b) Démontrer que \forall\,n\in\mathbb{N},\ I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1}(1-u)^{n}u^{\dfrac{3}{2}}\mathrm{d}u et en déduire le sens de variation de la suite \left(I_{n}\right)n\in\mathbb{N}.
2. Montrer que la suite \left(I_{n}\right) est convergente.
3. a) Vérifier que la dérivée de la fonction u\rightarrow u^{\dfrac{3}{2}} sur [0\ ;\ 1] est la fonction u\rightarrow\dfrac{3}{2}\sqrt{u}.
b) Calculer I_{0} et I_{1}.
c) En utilisant la question 1.b, démontrer à l'aide d'une intégration par partie, que I_{n}=\dfrac{2n+5}{2n+2}I_{n+1}.
4. a) En déduire l'expression de I_{n} en fonction de I_{0} et de n.
b) Calculer I_{4}.
Exercice 3 Problème
Partie A
On considère une fonction g définie et dérivable sur \mathbb{R} par g(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x-1}-1
1. a) Justifier que la limite de g en -\infty est -1.
b) Déterminer la limite de g en +\infty.
2. a) Démontrer que, pour tout x\in\mathbb{R}, on a g'(x)=x\mathrm{e}^{x-1}.
b) Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
3. a) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique \alpha appartenant à \left]\dfrac{3}{2}\ ;\ 2\right[
b) Vérifier que \alpha\in]1.56\ ;\ 1.57[.
Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=(x-2)\mathrm{e}^{x-1}-x+1.
On désigne par (\mathcal{C}) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right), unité graphique : 2\,cm.
1. Déterminer les limites de f en +\infty et en -\infty.
2. a) Démontrer que f est une primitive de g sur \mathbb{R}.
b) Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
3. a) Démontrer que la droite d'équation (D) d'équation y=-x+1 est asymptote à la courbe de f en -\infty.
b) Étudier les positions relatives de (\mathcal{C}) et (D).
4. Démontrer que (\mathcal{C}) admet en +\infty une branche parabolique dont on précisera la direction.
5. Déterminer une équation à la tangente (T) à (\mathcal{C}) au point d'abscisses -1.
6. Démontrer que f(\alpha)=2-\alpha-\dfrac{1}{\alpha-1}
7. Montrer que f(\alpha) est négative.
8. En déduire que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions strictement positives.
9. Tracer (D), (T) et (\mathcal{C}).
10. Soit \lambda un élément de ]-\infty\ ;\ 2[ et \mathcal{A}(\lambda) l'aire en cm^{2} de la partie du plan délimitée par la droite (D) d'équation y=-x+1 et les droites d'équations x=\lambda et x=2.
a) A l'aide d'une intégration par partie, calculer \mathcal{A}(\lambda).
b) Déterminer la limite de \mathcal{A}(\lambda) lorsque \lambda tend vers -\infty.
Partie C
Soit h la restriction de f à l'intervalle ]-\infty\ ;\ \alpha[.
1. Démontrer que h est une bijection réciproque sur un intervalle J à préciser.
2. Soit h^{-1} la bijection réciproque de h.
a) Préciser l'ensemble de dérivabilité de h^{-1}, puis dresser son tableau de variation.
b) Construire la courbe (\mathcal{C'}) de h^{-1} dans le même repère que (\mathcal{C}).
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