Bac Maths D, Tunisie 2010

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.  

1. $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x^{2}-x\ln x)$ est égale à :  

a) $0$     

b) $-\infty$     

c) $+\infty$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ est égale à :

a) $2$     

b) $1$     

c) $\dfrac{1}{2}$

3. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{kx}$ est une fonction de l'équation différentielle $y'-2y=0$ pour :  
 
a) $k=\dfrac{1}{2}$    

b) $k=2$    

c) $k=-2$

1. a) Vérifier que $(5+5\mathrm{i})^{2}=21+20\mathrm{i}.$

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-(5-4\mathrm{i})z-3-15\mathrm{i}=0.$

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

On désigne par $A$, $B$, $A'$ et $B'$ les points d'affixes respectives $-3\mathrm{i}\;,\ 5-\mathrm{i}\;,\ -3\;,\ 1+5\mathrm{i}.$

2. a) Placer les points $A$, $B$, $A'$ et $B'.$

b) Montrer que $OAA'$ et $OBB'$ sont des triangles rectangles et isocèles.

3. Soit $M$ un point de la droite $(AB)$ d'affixe $z_{M}.$            

a) Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $z_{M}=5k+(2k-3)\mathrm{i}.$            

b) Montrer que les droites $(OM)$ et $(A'B')$ sont perpendiculaires si et seulement si le point $M$ est le milieu du segment $[AB].$

Vérifier que dans ce cas $A'B'=2OM.$

I. On représente ci-dessous dans un repère orthonormé  $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ ; représentatives d'une fonction $f$ définie et dérivables sur $\mathbb{R}$ et de sa fonction dérivée $f'.$

1. Reconnaitre la courbe représentative de $f$ et celle de $f'.$
 
2. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe de $f'$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0.$
 
II. La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)2\mathrm{e}^{−x}.$

1. a) A l'aide d'une double intégration par partie, montrer que $$\int^{-1}_{0}f(x)\mathrm{d}x=2\mathrm{e}-5.$

b) Déterminer l'aire $\mathcal{A'}$ de la partie du plan limitée par les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0.$                  

2. Soit $g$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $I=[1\ ;\ +\infty[.$                         

a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.                         

b) Montrer que l'équation $g(x)=x$ admet dans $I$ une solution unique $\alpha$ et que $1.41<\alpha<1.42.$                           
                                
c) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $\alpha$ et que $g^{-1}(\alpha)=\dfrac{\alpha+1}{\alpha(1−\alpha)}$, $(g^{-1}$ désigne la fonction réciproque de $g).$

L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

On considère les points $A(1\;,\ 1\;,\ 0)$, $B(0\;,\ 0\;,\ 01)$ et $C(1\;,\ -1\;,\ 1).$

1. a) Déterminer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.$

En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan $\mathcal{P}.$
 
b) Montrer qu'une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est $x+y+z-1=0.$

2. Soit $\mathcal{S}$ l'ensemble des points $M(x\ ;\ y\ ;\ z)$ de $\mathbb{R}$ tels que : $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2z+1=0.$

a) Montrer que $\mathcal{S}$ est une sphère dont on précisera le centre $I$ et le rayon $r.$

b) Montrer que $\mathcal{S}\cap\mathcal{P}$ est le cercle circonscrit au triangle $ABC.$

3. a) Calculer le volume du tétraèdre $IABC.$

b) Soit $\alpha$ un réel et soit $M$ un point de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(\alpha \ ;\ 2\ ;\ -\alpha).$

Montrer que, lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble $\mathbb{R}$, le volume du tétraèdre $MABC$ reste constant.

Pour étudier la croissance d'une culture bactérienne en milieu liquide non renouvelé on a  mesuré, à divers instant $t$, le nombre $x$ de bactéries par millilitre. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant, où $t$ est exprimé en heure et $x$ est exprimé en milliers.
$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline x&9&11.2&14.8&18&22.8&28.8&36.2\\ \hline \end{array}$$

On pose $y=\ln x$ où $ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. a) Recopier et compléter le tableau suivant $($on donnera pour $y$ les valeurs  arrondies à $10^{-2}).$
$$\begin{array}{|cl|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y=\ln&2.20&2.42&&&&&3.59\\  \hline \end{array}$$

b) Déterminer le coefficient de corrélation de la série $(y\ ;\ t).$

2. a) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $(\mathcal{D})$ de régression de $y$ en $t.$

$($On arrondira les coefficients à $10^{-2}$ près$).$

b) A partie de l'équation de $(\mathcal{D})$, déterminer l'expression de $x$ en fonction de $t.$  

c) Donner une estimation du nombre de bactéries par millilitre pour $t=10.$