Bac Maths Gabon D - 2022

 

Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. 

 

Vous indiquerez sur votre copie numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

 

Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point.

 

1. Les droites de régression de $y$ en $x$ et de $x$ en $y$ d'une série statistique double sont respectivement :

 

$y=1.68x-31.4$ et $x=0.53y+23.3.$

 

On note $m$ la valeur approchée à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire.

 

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline m=1.51&m=-0.94&m=0.53&m=0.94\\ \hline \end{array}$$

 

2. On lance une pièce de monnaie parfaitement équilibrée dix fois de suite. 

 

On note $X$ la variable aléatoire désigne le nombre de « PILE » obtenus. 

 

Laquelle des affirmations suivantes est correcte.

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline P(X=5)=\dfrac{63}{256}&P(X=5)=\dfrac{1}{32}&P(X=5)=\dfrac{1}{2}&P(X=5)=\dfrac{1}{1024}\\ \hline \end{array}$$

3. On veut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, $u_{n}=5^{n}$

 

Laquelle des affirmations suivantes est L'hypothèse de récurrence dans cette démonstration ?

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \text{Supposons que pour un}&\text{Montrons que}&\text{Supposons que pour un}&\text{Montrons que}\\ \text{entier }k\geq 2\;,\ u_{k}=5^{k}&u_{k+1}=5^{k+1}&\text{entier }k\geq 0\;,\ u_{k}=5^{k}&u_{k+1}=5^{k}\\ \hline \end{array}$$

 

4. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

 

On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points du plan représentés ci-dessous.

 

Soit $\theta$ la mesure principale de l'angle orienté $\left(\widehat{AC\ ;\ AB}\right).$

 

 

Laquelle des affin nations ci - dessous est correcte ?

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \theta=-\dfrac{3\pi}{4}&\theta=\dfrac{3\pi}{4}&\theta=-\dfrac{5\pi}{4}&\theta=\dfrac{5\pi}{4}\\ \hline \end{array}$$

 

5. On considère l'équation différentielle $(E) : y"-6y^{\'}+9y=0$, Laquelle des fonctions suivantes est solution

de l'équation différentielle $((E)$?

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ y(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-3x}&y(x)=(1+x)\mathrm{e}^{3x}&y(x)=(1-x)\mathrm{e}^{2x}&y(x)=(1+x)\mathrm{e}^{-3x}\\ \hline \end{array}$$

 

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

 

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $l.$

 

Tous les calculs seront faits dans le repère orthonormal direct $\left(D\;,\ \overrightarrow{DA}\ ;\ \overrightarrow{DC}\ ;\ \overrightarrow{DH}\right)$

 

 

1. a) Démontrer que le produit vectoriel $\overrightarrow{HA}\wedge\overrightarrow{HC}$ a pour coordonnées $(1\ ;\ 1\ ;\ 1).$

 

b) En déduire une équation cartésienne du plan $(HAC).$

 

2. a) Donner une représentation paramétrique de la droite $(FD).$ 

 

b) Montrer que la droite $(FD)$ et le plan $(HAC)$ sont sécants en un point $I\left(\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\right).$

 

3. a) Montrer que les points $H$, $A$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

 

b) Déterminer le volume du tétraèdre $DHAC.$

 

4. On considère l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ de l'espace tels que :

$$||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MH}||=9.$$

 

a) Vérifier que $I$ est le centre de gravité du triangle $HAC.$

 

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(\Gamma).$

 

c) Étudier l'intersection de $(\Gamma)$ et du plan $(HAC).$

 

Exercice 3 : Transformations du plan

 

1. Résoudre dans $\mathfrak{E}$ l'équation $z^{2}-\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)z-2+2\mathrm{i}\sqrt{3}=0.$

 

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\;,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$ d'unité graphique $2\,cm.$

 

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_{A}=2$ et $z_{B}=2\mathrm{i}.$

 

On désigne par $E$ l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $F$ l'image de $B$ par la transformation $f$ d'écriture complexe $z^{\prime}=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)z.$

 

a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$

 

b) Déterminer les affixes des points $E$ et $F.$

 

c) Placer les points $A$ et $B.$ 

 

Construire $E$ et $F$, on expliquera rigoureusement la construction.

 

d) Démontrer que les points $A$, $B$, $E$ et $F$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

 

3. Démontrer que $AEBF$ est un trapèze isocèle, puis qu'une mesure de l'angle orienté $\left(\widehat{BE\;,\ AF}\right)$ est $-\dfrac{\pi}{2}$

 

4. Soit $S$ la similitude directe du plan qui transforme $A$ en $F$ et $E$ en $B.$

 

a) Déterminer l'écriture complexe de $S.$

 

b) Donner la nature exacte et les éléments caractéristiques de $S.$

 

Exercice 4 : Étude d'une fonction exponentielle et sa réciproque

 

On considère la fonction $f$ définie sur $i$ par : $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}.$

 

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

 

2. a) Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $i$

 

b) On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$, montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}}.$

 

c) Dresser le tableau de variations de $f.$

 

3. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[-1\ ;\ 1].$

 

a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $[-1\ ;\ 1]$ sur un intervalle $K$ à préciser.

 

b) Soit $g^{-1}$ la bijection réciproque de $g.$ 

 

Calculer $g(0)$, $g^{-1}$ est-elle dérivable en $\dfrac{1}{2}$ ?

 

c) Calculer la valeur exacte de $\left(g^{-1}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)$

 

4. On représente ci-dessous la courbe $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé d'unité graphique $2\,cm.$

 

 

a) Expliquer comment construire la courbe $(\mathcal{C})$ de la fonction $g^{-1}$ à partir de la courbe $(\mathcal{C}).$

 

b) Calculer en $cm^{2}$ la valeur exacte de l'aire du domaine du plan hachurée sur la figure ci-dessus