Bac Maths, S Centres étrangers 11 mai 2022

Le sujet propose $4$ exercices

 

Le candidat choisit $3$ exercices parmi les $4$ exercices et ne doit traiter que ces $3$ exercices.

 

Chaque exercice est noté sur $7$ points $($le total sera ramené sur $20$ points$).$ 

 

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

 

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. 

 

Les six questions sont indépendantes.

 

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. 

 

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

 

Aucune justification n'est demandée

 

1. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\ln\left(1+x^{2}\right).$

 

Sur $\mathbb{R}$, l'équation $f=(x)=2022$

 

a. n'admet aucune solution. 

 

b. admet exactement une solution.

 

c. admet exactement deux solutions. 

 

d. admet une infinité de solutions.

 

2. Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $$g(x)=x\ln(x)-x^{2}$$

 

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

 

a. La fonction $g$ est convexe sur $]0\ ;\ +\infty[$

 

b. La fonction $g$ est concave sur $]0\ ;\ +\infty[.$

 

c. La courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet exactement un point d'inflexion sur $]0\ ;\ +\infty[.$

 

d. La courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet exactement deux point d'inflexion sur $]0\ ;\ +\infty[.$

 

3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1\ ;\ 1[$ par

$$f(x)=\dfrac{x}{1-x^{2}}$$

 

Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-1\ ;\ 1[$ par :

 

a. $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^{2}\right)$

 

b. $g(x)=\dfrac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}$

 

c. $g(x)=\dfrac{x^{2}}{2\left(x-\dfrac{x^{3}}{3}\right)}$

 

d. $g(x)=\dfrac{x^{2}}{2}\ln\left(1-x^{2}\right)$

 

4. La fonction $x\mapsto\ln\left(-x^{2}-x+6\right)$ est définie sur 

 

a. $]-3\ ;\ 2[$

 

b. $]-\infty\ ;\ 6]$

 

c. $]0\ ;\ +\infty[$

 

d. $]2\ ;\ +\infty[$

 

5. On considère la fonction $f$ définie sur $]0.5\ ;\ +\infty[$ par 

$$f(x)=x^{2}-4x+3\ln(2x-1)$$

 

Une équation de la tangente à la courbe représentation de $f$ au point d'abscisse $1$ est : 

 

a. $y=4x-7$

 

b. $y=2x-4$

 

c. $y=-3(x-1)+4$

 

d. $y=2x-1$

 

6. L'ensemble $S$ des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln(x+3)<2\ln(x+1)$ est :

 

a. $S=]-\infty\ ;\ -2[\cup\;]1\ ;\ +\infty[$

 

b. $S=]1\ ;\ +\infty[$

 

c. $S=\varepsilon$

 

d. $S=]-1\ ;\ 1[$

Dans l'espèce, rapporté à une repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k}\right)$, on considère les points :

 

$A(2\ ;\ 0\ ;\ 3)$,

 

$B(0\ ;\ 2\ ;\ 1)$,

 

$C(-1\ ;\ -1\ ;\ 2)$ et 

 

$D(3\ ;\ -3\ ;\ -1)$

 

1. Calcul d'un angle 

 

a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

 

b. Calculer les longueurs $AB$ et $AC.$

 

c. À l'aide du produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.

 

2. Calcul d'une aire

 

a. Déterminer une équation du plan $\mathfrak{P}$ passant par le point $C$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$

 

b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB).$

 

c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $E$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, c'est-à- dire du point d'intersection de la droite $(AB)$ et du plan $\mathfrak{P}$

 

d. Calculer l'aire du triangle $ABC$

 

3. Calcul d'un volume

 

a. Soit le point $F(1\ ;\ -1\ ;\ 3).$

 

Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.

 

b. Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$

 

c. Sachant que le volume d'un tétraèdre est égale au tiers de l'aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre $ABCD.$

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$

$$h(x)=\mathrm{e}^{x}-x$$

 

1. Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $\infty$

 

2. Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation. 

 

3. En déduire que :

 

si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0<a<b\text{ alors }h(a)-h(b)<0.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=\mathrm{e}^{x}$$

 

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ 

 

1. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$

 

Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $0$

 

Cet écart est défini comme la différence des données des points de $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}_{f}$ de même abscisse.

 

On s'intéresse aux point d'abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul.

 

On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :

$$u_{n}=\text{exp}\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1$$

 

2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$

 

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,

$$u_{n+1}-u_{n}=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)$$

 

où $h$ est la fonction définie à la partie A 

 

b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ 

 

4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right).$

$$\begin{array}{|l|c|} \hline n&u_{n}\\\hline 1&0.718281828\\ \hline 2&0.148721271\\ \hline 3&0.062279092\\ \hline 4&0.034025417\\ \hline 5&0.021402758\\ \hline 6&0.014693746\\ \hline 7&0.010707852\\ \hline 8&0.008148453\\ \hline 9&0.006407958\\ \hline 10&0.005170918\\ \hline \end{array}$$

 

Donner la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle l'écart entre $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}_{f}$ semble être inférieur à $10^{-2}$

Les partie A et B peuvent être traitées de façons indépendante.

 

Au cours de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés $T_{1}$ et $T_{2}$ 

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.

 

On désigne par $A$ l'événement : "la paire de verres présente un défaut pour le traitement $T_{1}$"

 

On désigne par $B$ l'événement : "la paire de verres présente un défaut pour le traitement $T_{2}$"

 

On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les événements contraires de $A$ et $B$

 

Une étude a montré que :

 

$\bullet\ $La probabilité qu'une paire de verres présent un défaut  pour le traitement $T_{1}$ noté $p(A)$ est égale à $0.1$

 

$\bullet\ $La probabilité qu'une paire de verres présente défaut pour le traitement $T_{2}$ noté $p(B)$ est égale à $0.2$ 

 

$\bullet\ $La probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun  des défauts est $0.75$

 

1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &A&\overline{A}&\text{Total}\\ \hline B&&&\\ \hline \overline{B}&&&\\ \hline \text{Total}&&&1\\ \hline \end{array}$$

 

2. a Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu'une paire de verre, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements $T_{1}$ ou $T_{2}$

 

b. Donner la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement $T_{1}$ et $T_{2}$

 

c. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? 

 

Justifier la réponse.

 

3. Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.

 

4. Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement $T_{2}$, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement $T_{1}$

On prélève, au hasard, un échantillon de $50$ paires de verres dans la production. 

 

On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement $T_{1}$

 

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

 

2. Donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, exactement $10$ paires de verres qui présentent ce défaut.

 

Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à $10^{-3}$

 

3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de $50$ paires ?