Bac Maths, S Pondichéry 26 avril 2017
Exercice 1 5 points
Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.
La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85%.
Partie A
À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.
La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:
∙ la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0.98.
∙ La chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0.95.
À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :
A l' évènement: « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ;
C l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».
On note x la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.
- Montrer que P(C)=0.03x+0.95.
- À l'issue de la production, on constate que 96% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable.
Partie B
Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
- La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.
- Calculer P(Z>2).
- Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?
Partie C
On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance μ=85 et d'écart type σ=2.
- Calculer P(83<X<87).
- Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que:
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
- La chocolaterie vend un lot de \np{10000} tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7~;~88,3].
Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?
Exercice 2 3 points
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O, →u, →v).
- On considère l'équation
où c est un réel strictement supérieur à 9.
- Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
- Justifier que les solutions de (E) sont zA=3+i√c−9 et zB=3−i√c−9.
- On note A et B les points d'affixes respectives zA et zB.
- Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
Exercice 3 4 points
Commun à tous les candidats
Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe C.
On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [−2,5 ; 2,5] par:
[f(x)=ln(−2x2+13,5).]
L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.
Partie A : Étude de la fonction f
- Calculer f′(x) pour x∈[−2,5 ; 2,5].
- Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [−2,5 ; 2,5].
Partie B : Aire de la zone de creusement
On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
- La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ?
- Justifier la réponse.
- Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est A=8∫2,50f(x)dx.
- L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de I=∫2,50f(x)dx, notée a.
- Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l'exécution de l'algorithme pour n = 50.
- En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.
Exercice 4 5 points
On considère deux suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) :
\bullet~~ la suite \left(u_n\right) définie par u_0 = 1 et pour tout entier naturel
n u_{n+1} = 2u_n - n + 3 ;
\bullet~~la suite \left(v_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = 2^n.
\textbf{Partie A : Conjectures}
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Conjecturer les limites des suites \left(u_n\right) et \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right).
\textbf{Partie B : Étude de la suite } \left(u_n\right)
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
- Déterminer la limite de la suite \left(u_n\right).
- Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
- Démontrer que la suite \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) est décroissante à partir du rang 3.
- On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}.
Exercice 4 5 points
On définit les suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) par :
u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
\textbf{Partie A : Conjectures}
Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
- Soit n un entier naturel.
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
Elle émet la conjecture : « la suite \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) converge ».
Qu'en penser ?
\textbf{Partie B : Étude arithmétique}
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
- Soit n un entier naturel.
\textbf{Partie C : Étude matricielle}
Pour tout entier naturel n, on définit :
\bullet\ la matrice colonne X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix},
\bullet\ les matrices carrées P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix} et Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.
1. a. Montrer que la matrice \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix} est l'inverse de P.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.
- a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a \dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}.
Exercice 5 3 points
\textbf{Commun à tous les candidats}
On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe.
L'espace est rapporté au repère \left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right).
On note \mathcal{P} le plan d'équation x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan \mathcal{P}.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
Exercice 3
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10^{-6}, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour n = 50.
Ajouter un commentaire