$\textbf{Commun  à tous les candidats}$

Les parties  $A$, $B$ et $C$ peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.
La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%.$

$\textbf{Partie A}$

À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.
La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

$\bullet\ $ la chaîne $A$, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0.98.$

$\bullet\ $ La chaîne $B$, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est $0.95.$

À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$A$ l' évènement: « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication $A$ » ;

$C$ l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne $A.$

            Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne $B$ est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne $A.$

$\textbf{Partie B}$

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

             Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.

$\textbf{Partie C}$

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de $100~g$ de chocolat commercialisable. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$.

              Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l'emballage ?

$[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9.]$

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère.
Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?

$\textbf{Commun  à tous les candidats}$

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(O,\ \vec{u},\ \vec{v})$.

$[(E)\ :\qquad  z^2 - 6z + c = 0]$
où $c$ est un réel strictement supérieur à $9.$

              Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O.$

 
$\textbf{Commun  à tous les candidats}$

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité $2~m$, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$.

On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par:

$[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).]$

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

$\textbf{Partie A : Étude de la fonction}$ $f$ 

             En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$.

$\textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement}$
 
On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

              On admet que : $a \leqslant  I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times  2.5$.
             

              Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

$\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}$

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

$\bullet~~$ la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel
  $n$  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ;
$\bullet~~$la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

$\textbf{Partie A : Conjectures}$

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 12&10&3080&1024 \\\hline 13&11&6153&2048 \\ \hline 14&12&12298&4096 \\\hline 15&13&24587&8192 \\\hline \end{array}$$

              Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.

$\textbf{Partie B : Étude de la suite } \left(u_n\right)$

             $u_n = 3 \times  2^n + n - 2$.

$\textbf{Partie C : Étude de la suite } \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$

              Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.

$\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}$
 
On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

\[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\]

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

$\textbf{Partie A : Conjectures}$

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &A&B&C \\ \hline  1&\text{rang }n&\text{terme }u_{n}&\text{terme }v_{n} \\ \hline 2&0&1&1 \\ \hline 3&1&5&3 \\ \hline 4&2&19&13\\ \hline 5&3&77&51\\ \hline 6&4&307&205\\ \hline \end{array}$$

                bas les termes des suites ?

              Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 12&10&1258291&838861 \\\hline 13&11&5033165&3355443 \\ \hline 14&12&20132659&13421773 \\\hline 15&13&80530637&53687091 \\\hline \end{array}$$

             Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge ».

            Qu'en penser ?

$\textbf{Partie B : Étude arithmétique}$

              $2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$.

             Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.

$\textbf{Partie C : Étude matricielle}$

Pour tout entier naturel $n$, on définit :

$\bullet\ $ la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,

$\bullet\ $ les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$

 

1. a.  Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l'inverse de $P$.

 

b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$.

             
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a

$\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\
v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+  2^{2n+2}}{5}
        \end{array}\right.$

               b. En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
 

 
$\textbf{Commun  à tous les candidats}$

On considère un cube $ABCDEFGH$ fourni en annexe.

L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)$.

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0$.

Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
 

Annexe à compléter et à remettre avec la copie

 

$$\boxed{\text{ Variables}\\\quad R\text{ et }S\text{ sont des réels}\\n\text{ et }k\text{ sont des entiers }\\\text{ Traitement}\\\quad S\text{ prend la valeur 0}\\\quad\text{Demander la valeur de }n\\\quad\text{Pour }k\text{ variant de }1\text{ à }n\text{ fois}\\\qquad R\text{ prend la valeur }\dfrac{2.5}{n}\times f\left(\dfrac{2.5}{n}\times k\right)\\\qquad S\text{ prend la valeur }S+R\\\quad\text{Fin pour afficher }S}$$

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $10^{-6}$, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$.

Annexe à compléter et à remettre avec la copie