Bac Maths, S Pondichéry juin 2000

Exercice 1   (4 points)

Commun à tous les candidats

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n'ouvrent pas la porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai.

1. On appelle $D_1$ l'évènement : << La clef numéro1 n'ouvre pas la porte >>. Calculer sa probabilité.
2. On appelle $D_2$ l'évènement : <<La clef numéro 2 n'ouvre pas la porte >>. Calculer la probabilité que l'évènement $D_2$ se réalise, sachant que l'évènement $D_1$ est réalisé.

      En déduire la probabilité de l'évènement $D_1 \cap D_2$.

     On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre pondéré.

3. Quelle est la probabilité de l'évènement : << Les clefs numéros 1  et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas>> ?
4. Pour $1 \leqslant i < j \leqslant 5$, on note $(i~;~j)$ l'évènement : << Les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ >>, et $P(i~;~j)$ la probabilité de cet évènement.

         a. Calculer $P(2~;~4)$.

        b. Calculer $P(4~;~5)$.

Exercice 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ ; unité graphique 4~cm.
 
On appelle B le point d'affixe i et M$_1$ le point d'affixe :

\[z_1 = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}(1 - \text{i}).\]

1. Déterminer le module et un argument de $z_1$.
2. Soit M$_2$ le point d'affixe $z_2$, image de M$_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

    Déterminer le module et un argument de $z_2$.
    Montrer que le point M$_2$ est un point de la droite $(D)$ d'équation $y = x$.

3. Soit M$_3$ le point d'affixe $z_3$, image de M$_2$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3} + 2$.

        a. Montrer que $z_3 = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} (1 + i).$
        b.  Montrer que les points M$_1$ et M$_3$ sont situés sur le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{2}$.

4.  Construire, à la règle et au compas, les points M$_1$,~ M$_2$ et M$_3$ en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.
5. À tout point $M$ du plan d'affixe $z$ (distinct de B), on associe le point $M'$, d'affixe $Z$ telle que $Z = \dfrac{1}{\text{i} - z}$.

       Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ du plan ($M$ distinct de B) tels que $M'$ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercice 3 (5 points)

Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. a. Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7.       

      b. Démontrer que, pour tout $n,\: 3^{ n + 6} - 3^n$ est divisible par 7. En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le même reste dans la division par 7.
      c. À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^1000$ par 7.
      d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par 7, pour $n$ quelconque ?        
      e. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: 3^n$ est premier avec 7.

2.  Soit $U_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1} 3^i$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

        a. Montrer que si $U_{n}$ est divisible par 7, alors $3^n - 1$ est divisible par 7.
        b. Réciproquement, montrer que si $3^n - 1$ est divisible par 7, alors $U_n$ est divisible par 7.
            En déduire les valeurs de $n$ telles que $U_n$ soit divisible par 7.

Problème (11 points)

Partie A

$\star$ Étude de la fonction $g ~: ~x \mapsto \ln\left(\dfrac{3 + x}{3 - x}\right)$

Soit la fonction $g$ définie sur $]- 3~;~3[$ par : $g(x) = \ln\left(\dfrac{3 + x}{3 - x}\right)$.

1. Étudier la parité de la fonction $g$. 
2. a. Calculer les limites de $g$ en $- 3$ et en $3$.

       b.  Étudier le sens de variation de $g$ sur [0~;~3[.
            Dresser son tableau de variation sur $]- 3~;~3[$.

3. Soit $(\text{O},\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k})$ un repère orthonormal d'unité graphique 4 centimètres. Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $g$ dans ce repère.

        a. Déterminer une équation de la tangente ($T$) à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0.
        b. Tracer dans le repère la courbe ($\mathcal{C}$) et sa tangente ($T$).

4. Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
5. a. Calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto xg(x)$.        

       b. Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, de la portion de plan délimitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée au mm$^2$ près.
   
Partie B
 
$\star$ Étude d'une courbe paramétrée
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(\text{O},\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k})$ d'unité graphique 4~centimètres.

Soit la courbe paramétrée ($\Gamma$) définie par :
\[\left\{ \begin{array}{r c l}
x(t) & = & t\left(3 - t^2\right)\\
y (t) & = & tg (t)
\end{array}\right. \quad \text{pour}\quad t \in [-2~;~2].\]
où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A. On note $M(t)$ le point de coordonnées $(x(t)~;~y (t)$.

1. a. Comparer d'une part $x(t)$ et $x(- t)$ et d'autre par $y(t)$ et $y(- t)$.

      b. Par quelle transformation peut-on passer de $M(t)$ à $M(- t)$ ?
           En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera.

2. Étudier la fonction $x ~:~ t \mapsto t \left(3 - t^2\right)$ et dresser son tableau de variations sur [0~;~2].
3. En utilisant la partie A., montrer que la fonction $t \mapsto y(t)$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~2].
4. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions $t \mapsto x(t)$ et $t \mapsto y(t)$ sur [0~;~2].
5. Pour quelles valeurs de $t$ l'abscisse de $M(t)$ est-elle nulle ?

         Préciser alors les ordonnées des points correspondants de ($\Gamma$).

6.  Tracé de ($\Gamma$)

        a. Placer, dans le repère $(\text{O},\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k})$, les points M(0), M(1), M$\left(\sqrt{3}\right)$ et M(2) qui correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, $\sqrt{3}$ et 2 du paramètre $t$.
        b .Préciser un vecteur directeur des tangentes à ($\Gamma$) aux points M(0) et M(1) et tracer ces tangentes.        
        c. Tracer ($\Gamma$).

Correction Baccalauréat S Pondichéry juin 2000

Source: www.apmep.fr