Bac Maths S1 1er groupe 2014

Une urne contient 9 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche ou rouge. Il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne.On tire au hasard simultanément deux boules dans l'urne et on note leurs couleurs. Soit $G$ l'événement : "Obtenir deux boules de

même couleur."

On note $n\;,\ b$ et $r$ le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne.

 

1. On note $g(n,\ b,\ r)$ la probabilité en fonction de $n\;,\ b$ et $r$ de l'événement $G.$

Démontrer que $g(n,\ b,\ r)=\dfrac{1}{72}[n(n-1)+b(b-1)+r(r-1)].\qquad 0.75\;pt$

 

2. Le but de cette question est de trouver les valeurs de $n\;,\ b$ et $r$ pour lesquelles la probabilité $g(n,\ b,\ r)$ est minimale.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$. Soient les points $N\;,\ B$ et $R$ de coordonnées

respectives (9, 0, 0), (0, 9, 0) et (0, 0, 9). Soit $M$ le point de coordonnées $(n,\ b,\ r).$

 

a. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(NBR)$ est : $x+y+z-9=0.\qquad 0.75\;pt$

 

b. En déduire que M est un point du plan $(NBR).\qquad 0.5\;pt$

 

c. Démontrer que $g(n,\ b,\ r)=\dfrac{1}{72}(OM^{2}-9).\qquad 0.5\;pt$

 

d. Déterminer les coordonnées de $H$, projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(NBR).\qquad 1\;pt$

 

e. En déduire les valeurs de $n\;,\ b$ et $r$ pour lesquelles la probabilité $g(n,\ b,\ r)$ est minimale.

 

Justifier alors que cette probabilité minimale est égale à $\dfrac{1}{4}.\qquad 0.5+0.25\;pt$

 

3. On suppose que le nombre de boules de chaque couleur a été choisi par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'événement $G$ soit $\dfrac{1}{4}.$

Un joueur mise $1000\;francs$ puis tire au hasard simultanément deux boules dans l'urne. S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit $k\;francs$. Sinon, il ne reçoit rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

 

a. Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable $X$ en fonction de $k.\qquad 0.5\;pt$

 

b. Déterminer la valeur de $k$ pour que le jeu soit équitable c'est à dire pour que $E(X)=0.\qquad 0.25\;pt$

1. Soient $a\;,\ b\;,\ c$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul.

 

a. Démontrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si $a$ et $b^{n}$ sont premiers entre eux.$\qquad 1\;pt$

 

b. En déduire que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et si $a$ divise le produit $b^{n}c$, alors $a$ divise $c.\qquad 0.5\;pt$

 

2. On se propose dans cette question de déterminer les solutions rationnelles de l'équation suivante :

$$(E)\ :\ 7x^{3}+2x^{2}+2x-5=0$$

 

a. Démontrer que l'équation $(E)$ admet une solution réelle unique appartenant à l'intervalle $]0,\ 1[.\qquad 1\;pt$

 

b. En utilisant les résultats de la question 1. b. , démontrer que si $(E)$ admet une solution rationnelle $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers premiers entre eux, alors $p$ divise 5 et $q$ divise 7.$\qquad 1\;pt$

 

c. Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{Q}$ ensemble des rationnels.$\qquad 0.75\;pt$

 

3. Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$ ensemble des nombres complexes.$\qquad 0.75\;pt$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ d'unité graphique $2\;cm$. Dans tout le problème $I$ désigne l'intervalle $]0,\ +\infty[.$

 

Partie A

 

Soit $f_{0}$ la fonction définie sur $I$ par $f_{0}(x)=\dfrac{1}{x}$.

Pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in\;I $, on pose $$f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{x}\int_{1}^{x}f_{n}(t)\mathrm{d}t$$ et on note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

 

1. a. Montrer que pour tout élément $x$ de $I$ , $f_{1}(x)=\dfrac{\ln x}{x}.\qquad 0.75\;pt$

 

b. Étudier les variations de $f_{0}$ et de $f_{1}$ et dresser leur tableau de variations.$\qquad 0.5+0.75\;pt$

 

2. Déterminer suivant les valeurs de $x$, les positions relatives de $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}.\qquad 0.75\;pt$

 

3. Construire $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$ dans le même repère.$\qquad 0.75\;pt$

 

4. Calculer l'aire du domaine plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_{0}\;,\  \mathcal{C}_{1}$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=\mathrm{e}^{2}.\qquad 1\;pt$

 

Partie B

 

Pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in\;I $, on pose $$F_{n}(x)=\int_{1}^{x}\dfrac{f_{n}(t)}{t}\mathrm{d}t$$

 

1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $I.\qquad 0.75\;pt$

 

b. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $x$ dans $I$ , $f'_{n+1}(x)=\dfrac{-f_{n+1}(x)+f_{n}(x)}{x}.\qquad 0.75\;pt$

 

2. a. En utilisant la question précédente, montrer que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ dans $I$ ,$$F_{n}(x)-F_{n+1}(x)=f_{n+1}(x)\qquad 0.75\;pt$$

 

b. Vérifier alors que pour tout entier naturel $p$ et tout $x\in\;I$ on a : $$\sum_{n=0}^{p}f_{n}(x)=f_{0}(x)+F_{0}(x)-F_{p}(x)\qquad 0.75\;pt$$

 

3. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ et tout $x\in\;I$,

$$f_{n}(x)=\dfrac{\ln^{n}x}{n!x}.\qquad 0.75\;pt$$

 

b. Démontrer que pour tout entier naturel n et tout $x\in\;[1,\ \mathrm{e}]$,

$$|f_{n}(x)|\leq \dfrac{1}{n!}$$

 

En déduire que la suite $(F_{n}(\mathrm{e}))_{n\in\;\mathbb{N}}$ est convergente et calculer sa limite.$\qquad 0.25+0.5\;pt$

 

c. Déduire de la question 2 b. $$\lim_{p\rightarrow +\infty}\sum_{n=0}^{p}\dfrac{1}{n!}\qquad 1\;pt$$