Bac Maths S1 2e groupe 2016

Exercice 1 (5 points)

1. Calculer C35, C26 et C410.
Montrer que la proposition : "n, pN et p<n,  Cpn est un multiple de n." est fausse. (3×0.25+0.75pts)
Dans la suite, n et p deux entiers naturels tels que 0<p<n.
 
2. Démontrer que si n et p sont premiers entre eux, alors Cpn est un multiple de n. (On pourra utiliser la relation : Cpn=npCp1n1).
Prouver que la réciproque est fausse. (1+0.5pts)
 
3. Démontrer que si n est premier, alors pour tout couple d'entiers (a, b) le nombre (a+b)n(an+bn) est un multiple de n. (1.5pts)

Exercice 2 (5 points)

Soit n un entier naturel. Pour tout réel x différent de kπ2 avec kZ, on note
fn(x)=tanx+12tanx2++12ntanx2n et on pose In=π3π6fn(t)dt.
 
1. a. Démontrer que, pour tout réel x différent de kπ2 avec kZ,  1tanx2tan2x=tanx. (1pt)
 
b. En déduire que fn(x)=2cos2xsin2x+12ncos(x/2n)sin(x/2n). (1pt)
 
2. Montrer que In=ln(2cosπ6×2n). (2pts)
 
3. Calculer limn+In. (1pt)

Exercice 3 (5 points)

Le plan P est muni d'un repère orthonormé (O; i, j), unité graphique 1cm. On considère la conique C d'équation : 9x24y218x8y31=0.
 
1. Montrer que C est une hyperbole dont on déterminera le centre. (1.5pts)
 
2. Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de C. (foyers, sommets, directrices,
excentricité, asymptotes). (2.5pts)
 
3. Tracer C. (1pt)

Exercice 4 (5 points)

Soit f une isométrie plane laissant invariant un seul point A. Soit O un point distinct de A d'image O par f. On note Δ la médiatrice du segment [OO] et SΔ la réflexion d'axe Δ.
 
1. Déterminer fSΔ(O)  et fSΔ(A). (2×1pts)
 
2. Démontrer que fSΔ n'est pas l'application identique du plan. (1pt)
 
3. a. Donner la nature et les éléments géométriques caractéristiques de fSΔ. (1pt)
 
     b. En déduire la nature de f. (1pt)
 

Correction Bac Maths S1 2e groupe 2016

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