Bac Maths S1 2e groupe 2016

1. Calculer $C_{5}^{3}\;,\ C_{6}^{2}$ et $C_{10}^{4}$.

Montrer que la proposition : "$\forall\;n,\ p\in\mathbb{N}^{*}$ et $p < n$, $\ C_{n}^{p}$ est un multiple de $n$." est fausse. $\qquad (3\times 0.25+0.75\;pts)$

Dans la suite, $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $0<p <n$.

 

2. Démontrer que si $n$ et $p$ sont premiers entre eux, alors $C_{n}^{p}$ est un multiple de $n$. (On pourra utiliser la relation : $C_{n}^{p}=\dfrac{n}{p}C_{n-1}^{p-1}$).

Prouver que la réciproque est fausse. $\qquad (1+0.5\;pts)$

 

3. Démontrer que si $n$ est premier, alors pour tout couple d'entiers $(a,\ b)$ le nombre $(a+b)^{n}-(a^{n}+b^{n})$ est un multiple de $n$. $\qquad (1.5 pts)$

Soit $n$ un entier naturel. Pour tout réel $x$ différent de $k\dfrac{\pi}{2}$ avec $k\in\mathbb{Z}$, on note

$f_{n}(x)=\tan x+\dfrac{1}{2}\tan\dfrac{x}{2}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}\tan\dfrac{x}{2^{n}}$ et on pose $I_{n}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f_{n}(t)\mathrm{d}t$.

 

1. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ différent de $k\dfrac{\pi}{2}$ avec $k\in\mathbb{Z}$, $\ \dfrac{1}{\tan x}-\dfrac{2}{\tan 2x}=\tan x$. $\qquad (1\;pt)$

 

b. En déduire que $f_{n}(x)=-2\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}+\dfrac{1}{2^{n}}\dfrac{\cos(x/2^{n})}{\sin(x/2^{n})}$. $\qquad (1\;pt)$

 

2. Montrer que $I_{n}=\ln\left(2\cos\dfrac{\pi}{6\times 2^{n}}\right)$. $\qquad (2\;pts)$

 

3. Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}$. $\qquad (1\;pt)$

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$, unité graphique $1\;cm$. On considère la conique $C$ d'équation : $9x^{2}-4y^{2}-18x-8y-31=0$.

 

1. Montrer que $C$ est une hyperbole dont on déterminera le centre. $\qquad (1.5\;pts)$

 

2. Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de $C$. (foyers, sommets, directrices,

excentricité, asymptotes). $\qquad (2.5\;pts)$

 

3. Tracer $C$. $\qquad (1\;pt)$

Soit $f$ une isométrie plane laissant invariant un seul point $A$. Soit $O$ un point distinct de $A$ d'image $O'$ par $f$. On note $\Delta$ la médiatrice du segment $[OO']$ et $S_{\Delta}$ la réflexion d'axe $\Delta$.

 

1. Déterminer $f\circ S_{\Delta}(O')$  et $f\circ S_{\Delta}(A)$. $\qquad (2\times 1\;pts)$

 

2. Démontrer que $f\circ S_{\Delta}$ n'est pas l'application identique du plan. $\qquad (1\;pt)$

 

3. a. Donner la nature et les éléments géométriques caractéristiques de $f\circ S_{\Delta}$. $\qquad (1\;pt)$

 

     b. En déduire la nature de $f$. $\qquad (1\;pt)$