Bac Maths S1 2e groupe 2016
Exercice 1 (5 points)
1. Calculer C35, C26 et C410.
Montrer que la proposition : "∀n, p∈N∗ et p<n, Cpn est un multiple de n." est fausse. (3×0.25+0.75pts)
Dans la suite, n et p deux entiers naturels tels que 0<p<n.
2. Démontrer que si n et p sont premiers entre eux, alors Cpn est un multiple de n. (On pourra utiliser la relation : Cpn=npCp−1n−1).
Prouver que la réciproque est fausse. (1+0.5pts)
3. Démontrer que si n est premier, alors pour tout couple d'entiers (a, b) le nombre (a+b)n−(an+bn) est un multiple de n. (1.5pts)
Exercice 2 (5 points)
Soit n un entier naturel. Pour tout réel x différent de kπ2 avec k∈Z, on note
fn(x)=tanx+12tanx2+…+12ntanx2n et on pose In=∫π3π6fn(t)dt.
1. a. Démontrer que, pour tout réel x différent de kπ2 avec k∈Z, 1tanx−2tan2x=tanx. (1pt)
b. En déduire que fn(x)=−2cos2xsin2x+12ncos(x/2n)sin(x/2n). (1pt)
2. Montrer que In=ln(2cosπ6×2n). (2pts)
3. Calculer limn→+∞In. (1pt)
Exercice 3 (5 points)
Le plan P est muni d'un repère orthonormé (O; →i, →j), unité graphique 1cm. On considère la conique C d'équation : 9x2−4y2−18x−8y−31=0.
1. Montrer que C est une hyperbole dont on déterminera le centre. (1.5pts)
2. Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de C. (foyers, sommets, directrices,
excentricité, asymptotes). (2.5pts)
3. Tracer C. (1pt)
Exercice 4 (5 points)
Soit f une isométrie plane laissant invariant un seul point A. Soit O un point distinct de A d'image O′ par f. On note Δ la médiatrice du segment [OO′] et SΔ la réflexion d'axe Δ.
1. Déterminer f∘SΔ(O′) et f∘SΔ(A). (2×1pts)
2. Démontrer que f∘SΔ n'est pas l'application identique du plan. (1pt)
3. a. Donner la nature et les éléments géométriques caractéristiques de f∘SΔ. (1pt)
b. En déduire la nature de f. (1pt)
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