Bac Maths S1-S1A-S3 1er groupe 2020

 

1) On admet que tout entier naturel $n,$ strictement supérieur à $1$, est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers.

 

Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $524$ et de $629.\qquad(0.5\,pt)$

 

2) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x\;,\ y\;,\ z)$ tels que $z=xy$ et l'ensemble $\mathcal{C}$ des points de coordonnées $(x\;,\ y\;,\ z)$ tels que $x^{2}+y^{2}=1.$

 

a) Démontrer que les coordonnées $(x\;,\ y\;,\ z)$ des points d'intersection de $\Gamma\ $ et $\ \mathcal{C}$ vérifient la relation $x^{2}(1+y^{2})=1.\qquad(0.5\,pt)$

 

b) En déduire que $\Gamma\ $ et $\ \mathcal{C}$ ont deux points communs dont les coordonnées sont des entiers relatifs.$\qquad(0.5\,pt)$

 

3) Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $P_{n}$ le plan d'équation $z=n^{4}+4.$

 

a) Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma\ $ et $\ P_{1}$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs.$\qquad(0.5\,pt)$

 

Dans la suite de l'exercice, on suppose $n>1.$

 

b) Vérifier que $(n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)=n^{4}+4.\qquad(0.5\,pt)$

 

c) Montrer alors que $n^{4}+4$ n'est pas premier.$\qquad(0.5\,pt)$

 

d) En déduire que le nombre de points d'intersection de $\Gamma\ $ et $\ P_{n}$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs est supérieur ou égal à $8.\qquad(0.5\,pt)$

 

e) Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma\ $ et $\ P_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs.$\qquad(0.5\,pt)$

 

Dans un tétraèdre, la droite passant par un sommet et par le centre de gravité de la face opposée à ce sommet est appelée médiane et cette face est appelée face associée à cette médiane.

 

Soient $ABCD$ un tétraèdre régulier et $A'$ le centre de gravité du triangle $BCD.$ Ainsi la droite $(AA')$ est une médiane du tétraèdre $ABCD$ de face associée $(BCD).$

 

On veut démontrer la propriété suivante $(\mathbf{P})\ :$ dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale au plan de sa face associée.

 

a) Montrer que :

$$\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BD}=0\ \text{ et }\ \overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BC}=0\qquad\quad(01\,pt)$$

b) Montrer alors que dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale au plan de sa face associée.$\qquad(01\,pt)$

 

2) Soit $G$ l'isobarycentre de $ABCD.$

 

Montrer que $G$ appartient à chacune des médianes de $ABCD.\qquad(01\,pt)$

 

3) L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$

 

On considère les points $$P(1\;,\ 2\;,\ 3)\;,\ Q(4\;,\ 2\;,\ -1)\ \text{ et }\ R(-2\;,\ 3\;,\ 0)$$

 

a) Montrer que le tétraèdre $OPQR$ n'est pas régulier.$\qquad(0.5\,pt)$

 

b) Déterminer les coordonnées de $P',$ centre de gravité du triangle $OQR.\qquad(0.5\,pt)$

 

c) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(OQR)$ est :

$$3x+2y+16z=0\qquad\quad(0.5\,pt)$$

d) La propriété $(\mathbf{P})$ est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?$\qquad(0.5\,pt)$

 

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{1}{x(1+x)^{n}}$$

et $\mathcal{C}_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ avec $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2\;cm$

 

Partie A

 

1) Étudier, pour tout $n\in\mathbb{N}$, les variations de $f_{n}$ puis dresser son tableau de variation.$\qquad(01\,pt)$ 1 pt

 

2) Montrer que $f_{n}$ admet une bijection réciproque notée $f_{n}^{-1}$ dont on précisera le domaine de définition $J.\qquad(0.75\,pt)$

 

3) Étudier, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la position de $\mathcal{C}_{n+1}$ par rapport à $\mathcal{C}_{n}.\qquad(0.5\,pt)$

 

4) Tracer les courbes $\mathcal{C}_{0}\;,\ \mathcal{C}_{1}\ $ et $\ \mathcal{C}_{2}.\qquad(0.25\,pts)$

 

Partie B

 

On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$$I_{n}=\int_{1}^{2}f_{n}(x)\mathrm{d}x$$

1) a) Montrer que pour tout $x>0$,

$$\dfrac{1}{x(1+x)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1+x}\qquad\quad(0.5\,pt)$$

b) Calculer $I_{0}\ $ et $\ I_{1}.\qquad(0.5\,pt)$

 

2) Montrer que

$$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{n+1}-I_{n}=\dfrac{1}{n}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]\qquad\quad(01\,pt)$$

3) Soit $\mathcal{A}$ l'aire en $cm^{2}$ du domaine plan délimité par $\mathcal{C}_{1}\ $ et $\ \mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x=1\ $ et $\ x=2.$ Calculer $\mathcal{A}.\qquad(0.5\,pt)$

 

4) a) Montrer que pour tout $n\geq 2$,

$$I_{n}=I_{1}+S_{n}\ \text{ où }\ S_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\right]\qquad\quad(0.5\,pt)$$

b) Montrer que

$$\forall\;n\geq 1\;;\ 0\leq I_{n}\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\qquad\quad(0.5\,pt)$$

c) En déduire la limite de $I_{n}$ puis celle de $S_{n}.\qquad(01\,pt)$

 

Partie C

 

On pose, pour tout entier naturel $n$,

$$\Gamma_{n}=\sum_{k=0}^{n}I_{k}$$

1) Montrer que, pour tout entier naturel $n$,

$$\sum_{k=0}^{n}f_{k}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{f_{n}(x)}{x}\qquad\quad(0.75\,pt)$$

2) En déduire que pour tout entier naturel $n$,

$$\Gamma_{n}=\ln(2\sqrt{\mathrm{e}})-\int_{1}^{2}\dfrac{f_{n}(x)}{x}\mathrm{d}x\qquad\quad(0.75\,pt)$$

3) Justifier que pour tout entier naturel $n$,

$$0\leq\int_{1}^{2}\dfrac{f_{n}(x)}{x}\mathrm{d}x\leq I_{n}\qquad\quad(01\,pt)$$

4) Déterminer alors la limite de $\Gamma_{n}\qquad(0.5\,pt)$