Bac Maths S1-S1A-S3 1ere groupe 2023

 
Exercice 1
 
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (0, u ; v) d'unité graphique 1cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :
 
ZA=1,
 
ZB=1i3
 
ZC=14i34 et ZD=4
 
1. Soit f la similitude plane directe qui transforme A en C et D en B
 
a. Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de f.
 
b. Déterminer l'image (C) du cercle (C) de centre A et de rayon 6 par f
 
2. On considère la courbe (ε) d'équation : x2+43y2=16
 
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques (excentricité, axes, directrices, foyers, et sommets) de (ε)
 
b. Déterminer l'équation de la tangente (T) à (ε) au point E(2,3)
 
c. Tracer soigneusement (ε) et (T) 
 
3. On considère la courbe (I) d'équation : 15x2+13y22xy3768=0
 
a. Montrer que (T) est l'image réciproque de (ε) par f
 
b. En déduire que (T) est une conique dont on déterminera la nature et les éléments caractéristiques (excentricité, axes, directrices, foyers, et sommets). 
 
Tracer soigneusement (T) sur la même figure que (ε)
 
Exercice 2
 
1. une urne contient quinze (15) jetons indiscernables au toucher sur lesquels on a inscrit des entiers naturels en base 2, 5, 16 et 10.
 
l'urne contient :
 
deux (02) jetons portant le nombre a=¯10012
 
quatre (04) jetons portant le nombre b=¯4315 
 
six (06) jetons portant le nombre c=¯7E66
 
trois (03) jetons portant le nombre d=2023
 
a. Déterminer les écritures des nombres a, b et c dans la base décimale. 
 
b. Déterminer le reste dans la division euclidienne par 7 de chacun des nombres inscrits sur les jetons. 
 
2. On pose S2=2n+4n+6nn est un entier naturel 
 
a. Démontrer que S6n3[7].
 
b. Déterminer le reste de la division euclidienne de S2023 par 7
 
3. L'une précédente est utilisée dans un jeu dont la règle est la suivante :
 
Le joueur tire un jeton, note le numéro et le remet dans l'urne avant de procéder à un second tirage.
 
Pour chaque tirage, le joueur gagnera un nombre de points égal au reste, dans la division euclidienne par 7, du nombre inscrit sur le jeton.
 
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de points obtenus par le joueur à l'issue des deux tirages.
 
a. Déterminer la loi de probabilité de X. 
 
b. Calculer son espérance mathématique E(X). 
 
c. Calculer la probabilité d'avoir un gain qui dépasse l'espérance
 
Problème
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i ; j) d'unité graphique 3cm
 
Partie A
 
On considère la fonction fm à variable réelle définie par : fm(x)=12ln(m+xmx)m est un paramètre réel non nul. 
 
On note (Cm) la courbe représentative de fm dans le repère (O, i ; j) 
 
1. Déterminer le domaine de définition Dm de fm
 
2.a. Montrer que fm est impaire.
 
b. Calculer les limites de fm aux bornes de Dm
 
c. Montrer que pour tout réel m non nul, on a : xDm, f(m)(x)=fm(x).
 
On suppose dans cette question que m est un réel strictement positif.
 
a. Étudier les variations de fm
 
b. Montrer que fm réalise une bijection de Dm sur un intervalle J à préciser.
 
c. Soit (fm)1 la bijection réciproque de fm.
 
Définir (fm)1
 
Partie B
 
1. Dresser le tableau de variation de f1 
 
2. Soit (T) la tangente à (C1) au point d'abscisse 0
 
Étudier la position de (C1) par rapport à (T) 
 
3. Construire dans le même repère (C1) et (T) 
 
4. On note \mathcal{_{\left(f_{1}}\right)}^{-1} la courbe représentative de (f1)1 dans le plan muni du repère (O, i ; j)
 
Par quelles transformations du plan obtient-on les courbes C(1) et C1(f1) à partir de (C1) ?
 
(On ne demande pas de les construire)
 
Partie C
 
1 Soit Φ une primitive de (f1)1 sur R 
 
a. Soit Φf1 est primitive de la fonction xxf1(x) sur ]1,1[
 
b. Démontrer alors que pour tous réels a et b  appartenant à l'intervalle ]1,[, on a :
f1(a)f1(b)(f1)1(t)dt=batf1(t)dt.
 
c. En déduire que pour réel x appartement à l'intervalle ]1, 1[, on a :
f10(x)(f1)1(t)dt=x0tf1(t)dt
 
a. Démontrer que x0tf1(t)=12ln(xx2) 
 
b. En déduire que pour tout élément y de R, y0(f1)1(t)=ln(ey+ey2)
 
c. Calculer alors l'aire A, en cm2, de la partie du plan délimitée par la courbe (C(f1)1) de (f1)1
 
les droites d'équations x=0 et x=1 et l'axe des abscisses. 
 
3. Soit x un réel et A le point de (C1f1) de \left\mathcal{C}_{\left(f_{1}\right)^{-1}}}\right)^{-1}, les droites d'équations x=0 et x=1 et l'axe des abscisse ln2
 
a. Montrer qu'on a : ((f1)1(x))=1((f1)1(x))2
 
b. En déduire le volume du solide engendré par la rotation de l'arc  ^OA de (C(f1)1) autour de l'axe des abscisses.
 
Partie D
 
Soit x un nombre réel.
 
Pour tout entier naturel n non nul, on pose : Fn(x)=x0(f11(t))ndt
 
1.a.  Montrer que xR+, nN+, on a : 0Fn(x)x((f1)1(x))n
 
b. En déduire, pour tout réel positif x fixé, la limite de Fn(x).
 
2.a Montrer que : nN+, Fn+2(x)=Fn(x)1n+1(f11(x))n+1
 
b. En déduire que : nN+, F2n(x)=xΣnp=1(12p1)(f11(x))2p1
 
3. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à [0, 1[ et pour tout entier naturel non nul,
 
x+13x3++12n1x2n1=f1(x)F2n(f1(x))
 
b. En déduire limn+(13+13×33++1(2n1)×32n1)
 
 
 

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