Bac Maths S1-S1A-S3 1ere groupe 2023

 

Exercice 1

 

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\left(0\;,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$ d'unité graphique $1\,cm$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :

 

$Z_{A}=1$,

 

$Z_{B}=1-i\sqrt{3}$

 

$Z_{C}=\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ et $Z_{D}=4$

 

1. Soit $f$ la similitude plane directe qui transforme $A$ en $C$ et $D$ en $B$

 

a. Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de $f.$

 

b. Déterminer l'image $\left(\mathcal{C'}\right)$ du cercle $\left(\mathcal{C}\right)$ de centre $A$ et de rayon $6$ par $f$

 

2. On considère la courbe $(\varepsilon)$ d'équation : $x^{2}+\dfrac{4}{3}y^{2}=16$

 

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques (excentricité, axes, directrices, foyers, et sommets) de $(\varepsilon)$

 

b. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $(\varepsilon)$ au point $E(2\;,3)$

 

c. Tracer soigneusement $(\varepsilon)$ et $(T)$ 

 

3. On considère la courbe $\left(I'\right)$ d'équation : $15x^{2}+13y^{2}-2xy\sqrt{3}-768=0$

 

a. Montrer que $(T)$ est l'image réciproque de $(\varepsilon)$ par $f$

 

b. En déduire que $(T)$ est une conique dont on déterminera la nature et les éléments caractéristiques (excentricité, axes, directrices, foyers, et sommets). 

 

Tracer soigneusement $(T)$ sur la même figure que $(\varepsilon)$

 

Exercice 2

 

1. une urne contient quinze $(15)$ jetons indiscernables au toucher sur lesquels on a inscrit des entiers naturels en base $2$, $5$, $16$ et $10.$

 

l'urne contient :

 

$\blacktriangleright$ deux $(02)$ jetons portant le nombre $a=\overline{1001}^{2}$

 

$\blacktriangleright$ quatre $(04)$ jetons portant le nombre $b=\overline{431}^{5}$ 

 

$\blacktriangleright$ six $(06)$ jetons portant le nombre $c=\overline{7E6}^{6}$

 

$\blacktriangleright$ trois $(03)$ jetons portant le nombre $d=2023$

 

a. Déterminer les écritures des nombres $a$, $b$ et $c$ dans la base décimale. 

 

b. Déterminer le reste dans la division euclidienne par $7$ de chacun des nombres inscrits sur les jetons. 

 

2. On pose $S_{2}=2^{n}+4^{n}+6^{n}$ où $n$ est un entier naturel 

 

a. Démontrer que $S_{6n}\equiv3[7].$

 

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de $S_{2023}$ par $7$

 

3. L'une précédente est utilisée dans un jeu dont la règle est la suivante :

 

Le joueur tire un jeton, note le numéro et le remet dans l'urne avant de procéder à un second tirage.

 

Pour chaque tirage, le joueur gagnera un nombre de points égal au reste, dans la division euclidienne par $7$, du nombre inscrit sur le jeton.

 

Soit $X$ la variable aléatoire associée au nombre de points obtenus par le joueur à l'issue des deux tirages.

 

a. Déterminer la loi de probabilité de $X.$ 

 

b. Calculer son espérance mathématique $E(X).$ 

 

c. Calculer la probabilité d'avoir un gain qui dépasse l'espérance

 

Problème

 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité graphique $3\,cm$

 

Partie A

 

On considère la fonction $f_{m}$ à variable réelle définie par : $f_{m}(x)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)$ où $m$ est un paramètre réel non nul. 

 

On note $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ la courbe représentative de $f_{m}$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ 

 

1. Déterminer le domaine de définition $D_{m}$ de $f_{m}$

 

2.a. Montrer que $f_{m}$ est impaire.

 

b. Calculer les limites de $f_{m}$ aux bornes de $D_{m}$

 

c. Montrer que pour tout réel $m$ non nul, on a : $\forall x\in\mathbb{D_{m}}$, $f_{(-m)}(x)=-f_{m}(x).$

 

On suppose dans cette question que $m$ est un réel strictement positif.

 

a. Étudier les variations de $f_{m}$

 

b. Montrer que $f_{m}$ réalise une bijection de $\mathbb{D_{m}}$ sur un intervalle $J$ à préciser.

 

c. Soit $\left(f_{m}\right)^{-1}$ la bijection réciproque de $f_{m}.$

 

Définir $\left(f_{m}\right)^{-1}$

 

Partie B

 

1. Dresser le tableau de variation de $f_{1}$ 

 

2. Soit $(\mathcal{T})$ la tangente à $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ au point d'abscisse $0$

 

Étudier la position de $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ par rapport à $(\mathcal{T})$ 

 

3. Construire dans le même repère $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ et $(\mathcal{T})$ 

 

4. On note $\mathcal{_{\left(f_{1}}\right)}^{-1}$ la courbe représentative de $\left(f_{1}\right)^{-1}$ dans le plan muni du repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

 

Par quelles transformations du plan obtient-on les courbes $C_{(-1)}$ et $C_{\left(f_{1}\right)}^{-1}$ à partir de $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ ?

 

(On ne demande pas de les construire)

 

Partie C

 

1 Soit $\Phi$ une primitive de $\left(f_{1}\right)^{-1}$ sur $\mathfrak{R}$ 

 

a. Soit $\Phi\circ f_{1}$ est primitive de la fonction $x\mapsto xf_{1}^{'}(x)$ sur $]-1\;,1[$

 

b. Démontrer alors que pour tous réels $a$ et $b$  appartenant à l'intervalle $]-1\;,[$, on a :

$$\int_{f_{1}}(a)^{f_{1}}(b)\left(f_{1}\right)^{-1}(t)dt=\int_{a}^{b}tf_{1}^{'}(t)dt.$$

 

c. En déduire que pour réel $x$ appartement à l'intervalle $]-1\;,\ 1[$, on a :

$$\int_{0}^{f_{1}}(x)\left(f_{1}\right)^{-1}(t)dt=\int_{0}^{x}t f_{1}^{'}(t)dt$$

 

a. Démontrer que $$\int_{0}^{x}tf_{1}^{'}(t)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(x-x^{2}\right)$$ 

 

b. En déduire que pour tout élément $y$ de $\mathbb{R}$, $\int_{0}^{y}\left(f_{1}\right)^{-1}(t)=\ln\left(\dfrac{\mathrm{e^{y}}+\mathrm{e^{-y}}}{2}\right)$

 

c. Calculer alors l'aire $\mathfrak{A}$, en $cm^{2}$, de la partie du plan délimitée par la courbe $\left(\mathcal{C_{\left(f_{1}\right)^{-1}}}\right)$ de $\left(f_{1}\right)^{-1}$

 

les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ et l'axe des abscisses. 

 

3. Soit $x$ un réel et $A$ le point de $\left(C_{f_{1}}^{-1}\right)$ de $\left\mathcal{C}_{\left(f_{1}\right)^{-1}}}\right)^{-1}$, les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ et l'axe des abscisse $\ln\sqrt{2}$

 

a. Montrer qu'on a : $\left(\left(f_{1}\right)^{-1}(x)\right)^{'}=1-\left(\left(f_{1}\right)^{-1}(x)\right)^{2}$

 

b. En déduire le volume du solide engendré par la rotation de l'arc  $\widehat{OA}$ de $\left(\mathcal{C_{\left(f_{1}\right)^{-1}}}\right)$ autour de l'axe des abscisses.

 

Partie D

 

Soit $x$ un nombre réel.

 

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $F_{n}(x)=\int_{0}^{x}\left(f_{1}^{-1}(t)\right)^{n} dt$

 

1.a.  Montrer que $\forall x\in\mathbb{R^{+}}$, $\forall n\in\mathbb{N}^{+}$, on a : $0\leq F_{n}(x)\leq x\left(\left(f_{1}\right)^{-1}(x)\right)^{n}$

 

b. En déduire, pour tout réel positif $x$ fixé, la limite de $F_{n}(x).$

 

2.a Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}^{+}$, $F_{n+2}(x)=F_{n}(x)-\dfrac{1}{n+1}\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{n+1}$

 

b. En déduire que : $\forall n\in\mathbb{N}^{+}$, $F_{2n}(x)=x-\Sigma_{p=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{2p-1}$

 

3. a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0\;,\ 1[$ et pour tout entier naturel non nul,

 

$x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}x^{2n-1}=f_{1}(x)-F_{2n}\left(f_{1}(x)\right)$

 

b. En déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\times 3^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}}\right)$