Bac Maths S2 2e groupe 2016

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) On considère les nombres complexes $a=1-\mathrm{i}\;,\ b=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$

 

a) Calculer $a^{2016}.$

 

b) Déterminer les racines quatrièmes de $b.$

 

2) Une urne contient des jetons indiscernables au toucher dont quatre jetons verts contenant les nombres 0, 1, 2, -1 et quatre jetons rouges contenant les nombres 1, $\sqrt{3}$, 2, -1.

 

On tire au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et on donne $z=x+\mathrm{i}y$ où $x$ est le nombre marqué sur le jeton vert et $y$ est le nombre marqué sur le jeton rouge.

 

a) Déterminer la probabilité pour que $z$ soit un imaginaire pur.

 

b) Déterminer la probabilité pour que l'image de $z$ soit sur le cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}.$

 

c) Déterminer la probabilité pour qu'un argument de $z$ soit $\dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}.$

On considère les équations différentielles :

$$(E_{1})\ :\ y''+2y'+2y=0\quad\text{et}\quad (E_{2})\ :\ y''+2y'+2y=x+1.$$

 

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_{1}).$

 

2) Déterminer une fonction polynôme $P$ du premier degré solution de $(E_{2}).$

 

3) Montrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E_{2})$ si et seulement si $(f-P)$ est solution de $(E_{1}).$

 

4) En déduire l'ensemble des solutions de $(E_{2}).$

 

5) Déterminer la solution $h$ de $(E_{2})$ dont la courbe passe par le point $A(0\;,\ 1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à la droite $(D)$ d'équation $y=\dfrac{1}{2}x+1.$

 

6) Calculer $$\int_{0}^{\pi}h(x)\mathrm{d}x$$

1) On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-2)\mathrm{e}^{x}.$

 

a) Étudier les variations de $f.$

 

b) Montrer que le point d'abscisse 0 de la courbe de $f$ est un point d'inflexion.

 

2) a) Représenter graphiquement $f.$

 

b) Soit $k$ un réel tel que l'équation $f(x)=k$ admette exactement deux solutions distinctes. Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $k.$

Dans la série statistique $(X\;,\ Y)$ ci-dessous, les réels $a$ et $b$ sont inconnus avec $b<8.5$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&5&8&9&a&10 \\ \hline Y&6&7&b&9&11 \\ \hline\end{array}$$

 

a) Déterminer le réel $a$ sachant que $\bar{X}=7.8$

 

b) Déterminer le réel $b$ sachant que $var(Y)=2.96$

 

c) Calculer le coefficient de corrélation. Commenter le résultat.