Bac maths S2-S2A-S4-S5 2023

 

Exercice 1

 

1. Soit $\alpha$ un nombre rationnel strictement positif et $n$ un entier naturel.

 

Donner les limites suivantes :

 

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 0}{\dfrac{\ln(x+1)}{x}}$

 

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow 0}{\dfrac{\mathrm{e^{x}}-1}{x}}$

 

2. Donner les primitives des fonctions suivantes :

 

a. $\left(\text{exp}\circ f\right)f'$

 

b. $\dfrac{f'}{f}$

 

Exercice 2

 

Un jeune agriculteur décide de pratiquer de la culture sous serre dans son champ.A cet effet, il choisit dans son plan de représentation un repère orthonormal $\left(O\,;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right).$

 

Il place dans ce repère deux points $A$ et $B$ dont les affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$ sont des racines du polynôme $P$ défini par : 

$P(x)=2z^{3}-3\left(1+\mathrm{i}\right)z^{2}+4\mathrm{i}z+1-\mathrm{i}\;,\text{où}z\in\mathcal{C}.$

 

Son objectif est de pratiquer sa culture sous serre dans l'ensemble $(E)$ des points $M$ de son plan de représentation

 

tels que $\left|\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MO}\right|\right|\leq 2$,qui contient un point du segment $[AB]$

 

1. Vérifier que $1$ et $i$ sont des racines de $P.$

 

2. Déterminer le polynôme $g$ tel que $P(z)=(z-1)(z-\mathrm{i})(z)$

 

3. Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation $P(z)=0$

 

4. On pose $z_{A}=1$, $z_{B}=\mathrm{i}$ et $z_{c}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$

 

a. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A}$, $z_{B}$ et $z_{C}$ dans le repère orthonormal $\left(O\,;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$ en choisissant comme unité graphique $4\,cm$

 

b.  Démontrer que $\mathcal{C}$ est le milieu de $[AB]$  puis que $\mathcal{C}$ appartient à l'ensemble $(\mathbb{E})$ 

 

c. Déterminer l'affixe $z_{G}$ du point $G$ barycentre du système ${(A\;,1)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (0\;,2)}$, puis placer $G.$

 

5. Déterminer puis construire l'ensemble $(\mathbb{E}$ des points $M$ du plan tels que

 

$\left|\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MO}\right|\right|\leq 2$

 

6. Le jeune agriculteur atteindra-t-il son objectif ?

 

Exercice 3

 

On considère la suite numérique $\left(\cup_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$ définie par :

 

 $\left\lbrace\begin{array}{lcl} \cup_{0}&=&6\\ \cup_{n+1}&=&\dfrac{1}{\cup_{n}}+\dfrac{3}{4}\cup_{n}\;,n\in\mathbb{N} \end{array}\right.$

 

 1. Déterminer $\cup_{1}$ et $\cup_{2}$

 

 2. Démontrer par récurrence que : $\forall n\in\mathbb{N}\;,\cup_{n}\geq\sqrt{3}$

 

 3. Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{4}x.$

 

 a. Étudier les sens de variations de $f.$

 

 b. En déduire par récurrence que $\left(\cup_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ est strictement décroissante. 

 

 4. Démontrer que $\left(\cup_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ est convergente et déterminer sa limite.

 

 Problème 

 

 Partie A

 

 On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\dfrac{1}{2}y'+y=3\mathrm{e^{-2x}}+2.$

 

 1. Résoudre l'équation différentielle $\left(E^{'}\right)$ : $\dfrac{1}{2}y'+y=0$

 

 2. Soit $h$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=ax\mathrm{e^{-2x}}+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.

 

 Déterminer $a$ et $b$ pour que $h$ soit une solution de $(E)$ 

 

 3. a. Soit $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}.$

 

 Posons $a=6$ et $b=2$

 

 Déterminer que $g$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $g-h$ est solution de $\left(E'\right)$

 

b. En déduire l'ensemble des solutions de $\mathbb{E}$

 

4. Déterminer la solution $k$ de $(\mathbb{E})$ dont la courbe représentative $\left(\mathcal{C_{k}}\right)$ dans un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ passe par le point $O$

 

Partie B

 

Soient $f$ la fonction définie par :

 

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} (6x-2)\mathrm{e}^{-2x}+2&\text{si }&x\leq 0\\ \dfrac{x+\ln|1-x|}{1-x}&\text{si }&x> 0 \end{array}\right.$

 

et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique $2\,cm$

 

1. Justifier que l'ensemble de définition $\mathbb{D_{f}}$ de $f$ est égal à $\mathbb{R}{1}$

 

2.  Étudier les limites aux bornes de $\mathbb{D_{f}}$ et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus.

 

3. Déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement le résultat.

 

4. Étudier la continuité de $f$ en $0$

 

5. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ et interpréter géométriquement les résultats obtenus. 

 

6. Calcul $f'(x)$ puis étudier son signe sur $]-\infty\;,0[$ et $]0\;,+\infty[{1}$

 

7. Dresser le tableau de variations de $f$

 

8. Montrer sur l'intervalle $]1\;,2[$ que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que 

 

$1.2<\alpha<1.3$

 

9. Construire $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et ses asymptotes.

 

10. Calcul en $cm^{2}$ l'aire $A(E)$ de la partie $E$ du plan comprise entre les droites d'équations

$x=2$, $x=3$

 

$y=-1$ et la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ de $f$