Exercice 1

Commun à  tous les candidats

Dans tout l'exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième.
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.

Partie A

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Lesmonta nts de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l'année écouléeconduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normaled'espérance $\mu = 2900~euros$ et d'écart-type $\sigma = 1250~euros$.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l'entreprise, quelle est la probabi-lité que le montant du devis soit supérieur à  $4000$~euros ?
2. Afin d'améliorer la rentabilité de son activité, l'entrepreneur décide de ne pas donner suiteà $10\,\%$ des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. 
Queldoit être le montant minimum d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en comte ?
 Donner ce montant à l' euro près.

Partie B

Ce même entrepreneur décide d'installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages
indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier
appelé «dossier spam». Le fabricant affirme que $95\,\%$ des spams sont déplacés. De son côté, l'en-
trepreneur sait que $60\,\%$ des messages qu'il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel,
il constate que $58,6\,\%$ des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

$\bullet~~$D: « le message est déplacé »;
$\bullet~~$S : «  le message est un spam ».

1.Calculer $P(S \cap D)$.
2. On choisit au hasard un message qui n'est pas un spam. Montrer que la probabilité qu'il soit
déplacé est égale à $0,04$.
3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit
un spam ?
4. Pour le logiciel choisi par l'entreprise, le fabricant estime que $2,7\,\%$ des messages dépla-
cés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l'efficacité du logiciel, le
secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés.
Il trouve $13$ messages fiables parmi les $231$ messages déplacés pendant une se
maine.
Ces résultats remettent-ils en cause l'affirmation du fabricant?

Exercice 2

Commun à  tous les candidats

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L'ouverture du
mur d'enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué
de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \leqslant 2$.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme
illustrée par la figure ci-contre. Les côtés$ [AD]$ et
$[BC]$ sont perpendiculaires au seuil $[CD]$ du portail.
Entre les points $A$ et$ B$, le haut des vantaux a
la forme d'une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur
$[-2~;~2]$ par:
\[ f(x) = - \dfrac{b}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} +  \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0.\]
Le repère est choisi de façon que les points$ A, B, C$ et                                            
D aient pour coordonnées respectives $(−a ; f (−a))$,
$(a ; f (a)), (a ; 0) et (−a ; 0)$ et on note $S$ le sommet de
la courbe de$ f $, comme illustré ci-contre.

Partie A

 1.Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$,\: $f(-x) = f(x)$. Que peut-
on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
 2.On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~2]$ :

$f'(x) = - \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right)$.

 3.Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ et en déduire les
coordonnées du point$ S$ en fonction de $b$.

Partie B

La hauteur du mur est de $1,5 m$. On souhaite que le point $S$ soit à$ 2 m$ du sol. On cherche alors les
valeurs de $a$ et $b$.

 1.Justifier que $b = 1$.
 2. Montrer que l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~2]$ et en
      déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
 3.Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d'automatiser son portail
     si la masse d'un vantail excède $60kg$. La densité des planches de bois utilisées pour la
     fabrication des vantaux est égale à $20kg.m^{-2}$. Que décide le client ?

Partie C

On conserve les valeurs $a = 1,8$ et $b = 1$.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle $OCES$, soit un trapèze $OCHG $comme dans les sché-mas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite $(GH)$ est la tangente à la courbe représen-tative de la fonction $f$ au point F d'abscisse $1$.

Forme $1$ : découpe dans un rectangle &Forme $2$ : découpe dans un trapèze

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme$ 2 $semble plus économique.
Évaluer l'économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme$ 2 $plutôt que la
forme 1.
On rappelle la formule donnant l'aire d'un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs
de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze :

$Aire = \dfrac{b+B}{2} \times{h} $

Exercice 3

Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est
strictement supérieur à $1$ et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la
somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs.
On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

.$\bullet~~$ $u_0 > 1$,
$\bullet~~$ pour tout $n \geqslant 0$, $u_n \geqslant 0$,
$\bullet~~$ pour tout $ n > 0 $,  $ u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

 On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
 Pour tout entier $ n > 0 $, on note $ s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1} $.

On a en particulier $ s_1 = u_0 $·
    
         Vérifier que pour tout entier $n > 0$, \:$ s_{n+1} = s_n + u_n $ et $ s_n > 1 $.
         En déduire que pour tout entier $ n > 0 $,

\[  u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
        
         Montrer que pour tout $n \geqslant 0$,: $u_n > 1$.
    
 À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer
le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
   
a. Recopier et compléter la partie traitement
de l'algorithme ci-contre.
    
b. Le tableau ci-dessous donne des valeurs
arrondies au millième de $u_n$ pour diffé-
rentes valeurs de l'entier $n$ :          

Quelle conjecture peut-on faire sur la
convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?    
4. a. Justifier que pour tout entier $n > 0$,\: $s_n > n$.
 En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.

Exercice 4

Un particulier s'intéresse à l'ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand
le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un
repère orthonormé  $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires
$SEF$ et $SFG$.

.Les plans $(SOA)$ et$ (SOC)$ sont perpendiculaires.
.Les plans $(SOC) $et $(EAB)$ sont parallèles, de même que les plans $(SOA) $et $(GCB)$.
.Les arêtes$ [UV) $et$ [EF]$ des toits sont parallèles.
Le point $K$ appartient au segment $ [SE]$, le plan$ (UVK) $sépare la véranda en deux zones, l'une
éclairée et l'autre ombragée. Le plan $ (UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $KMNP$
qui est la limite ombre-soleil.

1. Sans calcul, justifier que :
    
           a. le segment$ [KM]$ est parallèle au segment $ [UV]$ ;
            b.le segment$ [NP]$ est parallèle au segment $ [UK]$.
    
        2.Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Les co-
           ordonnéesdes différents points sont les suivantes : $ A(4~;~0~;~0), B(4~;~5~;~0), C(0~;~5~;~0)$,
           $ E(4~;~0~;~2, 5), F(4~;~5~;~2,5), G(0~;~5~;~2,5), S(0~;~0~;~3,5), U(0~;~0~;~6) et V(0~;~8~;~6)$.  
           On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le
            plan $(UV K) $qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
    
          a.Au moment le plus ensoleillé, le point$ K$ a pour abscisse $1,2$. Vérifier que les coordon-
             nées du point$ K$ sont $(1,2~;~0~;~3,2)$.
         b. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(7~;~0~;~3) $est un vecteur normal au plan $(UVK)$
             et en déduire une équation cartésienne du plan$ (UVK)$.
         c.Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan$ (UVK)$ avec la droite $(FG)$.
         d.Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
    
 3.Afin de faciliter l'écoulement des eaux de pluie, l'angle du segment $[SG] $avec l'horizontale
doit être supérieur à$ 7\degres$. Cette condition est-elle remplie ?

Exercice 4

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d'activités, le
programme$ A $: cirque - éveil musical, et le programme $B $: théâtre - arts plastiques.

À sa création en$ 2014$, l'association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme$ A$.

Pour chacune des années suivantes, le nombre d'enfants inscrits dans l'association reste égal à
$150$.

On dispose également des informations suivantes :

Chaque enfant ne peut suivre qu'un seul programme: soit le programme$ A$, soit le programme$ B$.

D'une année à l'autre, $20\,\%$ des inscrits au programme $A$ choisissent à nouveau le programme $A$,
alors que$ 40\,\%$ choisissent le programme $B$. Les autres quittent l'association.

D'une année à l'autre, $60\,\%$ des inscrits au programme $B $choisissent à nouveau le programme $B$
et les autres quittent l'association.

Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme $A$.
On modélise le nombre d'inscrits au programme $A$ et le nombre d'inscrits au programme $B$ du-
rant l'année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne
$\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $ U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix} $.

 1.Montrer que, pour tout entier naturel $ n$ , on a $ U_{n + 1} = U_n M $ où $ M = \begin{pmatrix} 0,6&0,40,4&0,6\end{pmatrix} $.
 2.Montrer que, pour tout entier naturel $ n ,\:  U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times  0,2^n &75 - 75 \times  0,2^n\end{pmatrix} $.
 3.En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.

Partie B

L'association affecte à chaque enfant un  numéro à$ 6$ chiffres $c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}k$. Les deux premiers
chiffres représentent l'année de naissance de l'enfant les trois suivants sont attribués à l'enfant
au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé
automatiquement de la façon suivante :

. on effectue la somme $S = c_{1} + c_{3} + c_{5} + a \times \left(c_{2} + c_{4}\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
.on effectue la division euclidienne de $S$ par $10$, le reste obtenu est la clé $k$.

Lorsqu'un employé saisit le numéro à$6$ chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie
lorsque le sixième chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers
chiffres.

 1.Dans cette question seulement, on choisit $a = 3$.
    
         a.Le numéro $111383$ peut-il être celui d'un enfant inscrit à l'association ?
         b. L'employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : $2008$
             et$ 2011$. Ainsi, le numéro $08c_{3}c_{4}c_{5}k$ est transformé en $11c_{3}c_{4}c_{5}k$. Cette erreur est-elle   
              détectée grâce à la clé ?
    
 2.On note $c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}k$ le numéro d'un enfant. On cherche les valeurs de l'entier $a$ pour les-
    quelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$ sont
    intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$ sont distincts.
    
       a.  Montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$ si et seule
             ment si $(a -1)\left(c_4 - c_3\right)$ est congru à $0$ modulo $10$.
       b.  Déterminer les entiers $n$ compris entre$ 0$ et$ 9$ pour lesquels il existe un entier $p$ compris
             entre $1$ et$ 9$ tel que $np \equiv  0  \quad(10)$.
       c.  En déduire les valeurs de l'entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systé-
             matiquement l'interversion des chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$.