Corrigé Bac Maths S2 2018 2e groupe

 

1) Rappelons que les premières puissances du nombre complexe $\mathrm{i}$ sont :

 

$\mathrm{i}^{0}=1\;;\quad \mathrm{i}^{1}=\mathrm{i}\;;\quad\mathrm{i}^{2}=-1\;;\quad\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}\;;\quad\mathrm{i}^{4}=1$ et que la suite de ces puissances est périodique, de période 4.

 

Il en résulte que $\mathrm{i}^{2016}=\mathrm{i}^{4\times 504}=1$ et par suite que : $$\mathrm{i}^{2018}=\mathrm{i}^{2016+2}=\mathrm{i}^{2016}\times\mathrm{i}^{2}=1\times-1=-1$$

La bonne réponse est donc b.

 

2) On pourrait procéder par élimination, puisque la consigne est de cocher la bonne réponse sans justification.

 

Pour $x=0$, les expressions $3\cos x\;,\ \cos 2x\sin x-\cos x\sin 2x$ valent respectivement 3 et 0, tandis que l'expression $\cos^{3}x$ vaut 1.

 

Pour $x=\pi$, l'expression $1-\sin 3x$ vaut 1 tandis que l'expression $\cos^{3}x$ vaut -1.

 

Donc la seule valeur possible pour l'expression $\cos^{3}x$ est $\dfrac{1}{4}\cos 3x+\dfrac{3}{4}\cos x.$

 

Confirmons cela par un calcul en linéarisant $\cos^{3}x$ par les formules d'Euler et de De Moivre :

$$\begin{eqnarray} \cos^{3}x&\underbrace{=}_{\text{Euler}}&\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{\mathrm{-i}x}}{2}\right)^{3}\nonumber \\ &\underbrace{=}_{\text{Binome et Moivre}}&\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}2x}\mathrm{e}^{\mathrm{-i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}}{8}\nonumber \\ &\underbrace{=}_{\text{regroupement}}&\dfrac{(\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x})+3(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})}{8}\nonumber \\ &\underbrace{=}_{\text{regroupement}}&\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}}{2}+3\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)\nonumber \\ &\underbrace{=}_{\text{Euler}}&\dfrac{1}{4}(\cos 3x+3\cos x)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{4}\cos 3x+\dfrac{3}{4}\cos x\nonumber \end{eqnarray}$$

La bonne réponse est donc a.

 

3) La forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\mathrm{i}}{2}$ est, d'après les formules de trigonométrie :

 

$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{6}}.$ 

 

D'où avec la formule de De Moivre : $$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)^{12}=\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{6}}\right)^{12}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi}=1$$

La bonne réponse est donc c.

 

4) $\dfrac{\ln x}{x}$ est égal à $u'(x)u(x)\text{ avec }u(x)=\ln x.$ 

 

Les primitives sur l'intervalle $[1\;;\ \mathrm{e}]$ de la fonction $x\mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sont donc les fonctions de la forme $x\mapsto\dfrac{u(x)^{2}}{2}+C\;,\text{ où }C$ est une constante arbitraire, soit $x\mapsto\dfrac{(\ln x)^{2}}{2}+C.$

 

Il en résulte que :

$$\int_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x}=\left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^{2}\right]_{1}^{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{2}(1-0)=\dfrac{1}{2}$$

La bonne réponse est donc b.

1) Nombre de circuits possibles

 

Tout circuit peut être assimilé à une permutation des 6 villes (liste ordonnée sans répétition de tous les éléments d'un ensemble). 

 

Le nombre de circuits possibles est donc $6!=720.$

 

2) Nombre de circuits possibles sachant que la première ville visitée est Saint-Louis

 

Dans ce cas, chaque circuit est assimilable à une permutation des 5 villes autres que Saint-Louis.

 

Le nombre de circuits possibles est donc $5!=120.$

 

3) On considère maintenant uniquement des circuits entre deux villes

 

a) Les villes visitées sont toujours Dakar, Fatick, Kédougou, Saint-Louis, Thiès et Ziguinchor.

 

Probabilité que Fatick ou Ziguinchor en fasse partie.

 

Chaque circuit est maintenant un couple de villes choisies parmi les 6 ; le nombre de circuits possibles est $\text{card}\;\Omega=A_{6}^{2}=30.$

 

Il y a deux méthodes pour traiter cette question :

 

$1^{\text{ère}}$ méthode : 

 

Soit $A$ l'événement Fatick ou Ziguinchor fait partie.

 

$\overline{A}$ est l'événement Ni Fatick ni Ziguinchor ne font partie du circuit, autrement dit, le circuit implique seulement les 4 villes :

 

Dakar, Kédougou, Saint-Louis et Thiès. 

 

Le nombre de circuits possibles est alors $A_{4}^{2}=12$ et la probabilité de l'événement $\overline{A}$ est $$p(\overline{A})=\dfrac{A_{4}^{2}}{A_{6}^{2}}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$$

Par suite, $$p(A)=1-p(\overline{A})=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$$

$2^{\text{ième}}$ méthode :

 

Soit $F$ l'événement Fatick fait partie et $Z$ l'événement Ziguinchor fait partie. 

 

On nous demande $p(F\cup Z)$ qui est égale d'après une propriété classique des probabilités sur un ensemble fini, à :

 

$p(F)+p(Z)-p(F\cap Z).$

 

Or, réaliser l'événement $F$, c'est obtenir un couple du type $(F\;,\ X)\text{ ou }(X\;,\ F)\text{ ou }X$ est une ville autre que Fatick.

 

Il y a donc $5+5=10$ couples correspondant à cet événement. 

 

Par conséquent, $$p(F)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$$  

De manière analogue, $$p(Z)=\dfrac{1}{3}$$

D'autre part, il est clair que $F\cap Z$ est l'événement constitué des deux couples $(F\;,\ Z)\text{ et }(Z\;,\ F)$, Donc $$p(F\cap Z)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$$

Finalement, $$p(F\cup Z)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{3}{5}$$

b) L'école décide d'organiser 56 circuits dans d'autres villes.

 

Nombre de villes visitées.

 

Soit $n$ le nombre de villes permettant d'avoir 56 circuits.

 

Chacun de ces circuits étant un couple de villes choisies parmi les $n$, leur nombre est $A_{n}^{2}.$

 

On a par conséquent $A_{n}^{2}=56$, soit $n(n-1)=56.$ 

 

On obtient facilement $n=8.$

 

N.B : La dernière question de cet exercice était un peu mal formulée, ce qui pouvait mener à une confusion au niveau de l'interprétation.

1) a) Remarquons tout d'abord que, puisque la fonction exponentielle est à valeurs dans $]0\;;\ +\infty[$, tous les termes de la suite $(U_{n})$ sont strictement positifs.

 

On a pour tout $n$ $$\begin{eqnarray} \dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}&=&\dfrac{\mathrm{e}^{2-(n+1)}}{\mathrm{e}^{2-n}}\nonumber \\ &=&\dfrac{\mathrm{e}^{1-n}}{\mathrm{e}^{2-n}}\nonumber \\ &=&\mathrm{e}^{1-n-2+n}\nonumber \\ &=&\mathrm{e}^{-1}\nonumber \end{eqnarray}$$

Ce nombre étant une constante indépendante de $n$, on en conclut que la suite $(U_{n})$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{e}^{-1}$ et de premier terme $U_{0}=\mathrm{e}^{2-0}$, soit $U_{0}=\mathrm{e}^{2}.$

 

b) Il s'agit de montrer que, pour tout entier naturel $n$, la différence $V_{n+1}-V_{n}$ est une constante indépendante de $n.$

 

Or, d'après les propriétés du logarithme népérien, $$\begin{eqnarray} V_{n+1}-V_{n}&=&\ln U_{n+1}-\ln U_{n}\nonumber \\ &=&\ln\dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}\nonumber \\ &=&\ln\mathrm{e}^{-1}\ \text{ (d'après a))}\nonumber \\ &=&-1\nonumber \end{eqnarray}$$  

On en déduit que la suite $(V_{n})$ est une suite arithmétique de raison -1 et de premier terme $$V_{0}=\ln U_{0}=\ln \mathrm{e}^{2}=2$$  

2) a)  D'après ce qui précède et les formules du Cours relatives aux suites géométriques, $S_{n}$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q=\mathrm{e}^{-1}$ et de premier terme $\mathrm{e}^{2}$, d'où : $$\begin{eqnarray} S_{n}&=&U_{0}+U_{1}+\cdots+U_{n}\nonumber \\ &=&U_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\nonumber \\ &=&\mathrm{e}^{2}\times\dfrac{1-\mathrm{e}^{-n-1}}{1-\mathrm{e}^{-1}}\nonumber \end{eqnarray}$$  

Comme $\dfrac{1}{1-\mathrm{e}^{-1}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$, on trouve finalement :  $$S_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}-1}\times(1-\mathrm{e}^{-n-1})$$

D'après la propriété fondamentale du logarithme népérien, on a : $$\begin{eqnarray} \ln P_{n}&=&\ln(U_{0}\times U_{1}\times\cdots\times U_{n})\nonumber \\ &=&\ln U_{0}+\ln U_{1}+\cdots+\ln U_{n}\nonumber \\ &=&V_{0}+V_{1}+\cdots+V_{n}\nonumber \end{eqnarray}$$  

On en déduit, d'après ce qui précède et les formules du Cours relatives aux suites arithmétiques, que $\ln P_{n}$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r=-1$ et de premier terme 2, d'où : $$\ln P_{n}=\dfrac{(n+1)(V_{0}+V_{n})}{2}\;,\quad\text{ avec }V_{n}=V_{0}+n\times(-1)=2-n$$

 

On obtient en remplaçant : $$\ln P_{n}=\dfrac{(n+1)(2+2-n)}{2}=\dfrac{(n+1)(4-n)}{2}$$

D'où, en prenant les exponentielles des deux membres, $$P_{n}=\mathrm{e}\dfrac{(n+1)(4-n)}{2}$$  

b) $\lim_{n\rightarrow +\infty}(-n-1)=-\infty$ (limites usuelles) entraine par composition des limites que $\lim_{n\rightarrow +\infty}(\mathrm{e}^{-n-1})=0$  et par suite, d'après les résultats relatifs aux opérations sur les limites de suites: $$\lim_{n\rightarrow +\infty}(S_{n})=\dfrac{\mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{-1}}$$  

De même, $$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{(n+1)(4-n)}{2}\right)&=&\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{-n^{2}}{2}\right)\nonumber \\ &=&-\infty\nonumber \end{eqnarray}$$ entraine, par composition avec l'exponentielle, que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}(P_{n})=0$$  

1) Intégrons par parties en posant :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} u(x)&=&x \\ v'(x)&=&\sin 2x \end{array}\right.$$ $$\Rightarrow\left\lbrace \begin{array}{lcl} u'(x)&=&1 \\ \\ v(x)&=&-\dfrac{1}{2}\cos 2x \end{array}\right.$$

La formule d'intégration par parties donne : $$\begin{eqnarray} \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin 2x&=&\left[-\dfrac{1}{2}x\cos 2x\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}+\int_{a}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}\cos 2x\mathrm{d}x\nonumber \\ &=&\left(-\dfrac{\pi}{4}\times\cos\pi+0\times\cos 0\right)+\dfrac{1}{2}\int_{a}^{x}\cos 2x\mathrm{d}x\nonumber \\ &=&\dfrac{\pi}{4}+\left[\dfrac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\nonumber \end{eqnarray}$$

Finalement, $$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin 2x=\dfrac{\pi}{4}$$

car $\sin 2x$ prend la valeur 0 aussi bien en $\dfrac{\pi}{2}$ qu'en 0 ;

 

2) On pourrait procéder par linéarisation mais les calculs seraient un peu longs.

 

Il vaut remarquer que, puisqu'on a une puissance impaire du sinus, on peut écrire :

$$\sin^{3}x=\sin x(1-\cos^{2}x)$$  

D'où $$\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\cos^{2}x\mathrm{d}x&=&\int_{0}^{\pi}\sin x(1-\cos^{2}x)\cos^{2}x\mathrm{d}x\nonumber \\ &=&\int_{0}^{\pi}\sin x\cos^{2}x\mathrm{d}x-\int_{0}^{\pi}\sin x\cos^{4}x\mathrm{d}x\nonumber \end{eqnarray}$$

Or, toute expression du type $\sin x\cos^{n}x$ peut être considérée comme étant du type $-u'(x)u(x)^{n}\text{ avec }u(x)=\cos x.$

 

La fonction $x\mapsto\sin x\cos^{n}x$ a donc pour primitives $$x\mapsto -\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}+C=-\dfrac{\cos^{n+1}x}{n+1}+C$$

Il en résulte que : $$\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\cos^{2}x\mathrm{d}x&=&\left[-\dfrac{1}{3}\cos^{3}x+\dfrac{1}{5}\cos^{5}x\right]_{0}^{\pi}\nonumber \\ &=&\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\nonumber \\ &=&\dfrac{4}{15}\nonumber \end{eqnarray}$$

Conclusion :

$$\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\cos^{2}x\mathrm{d}x=\dfrac{4}{15}$$