Corrigé Bac Maths S2-S2A-S4-S5 1er groupe 2019
Exercice 1
1) p1=3045=23
2) On donne l'arbre de choix pour déterminer les probabilités conditionnelles.
a) p(E2/E1)=12 et p(E2/¯E1)=13
b) p(E2)=p(E2/E1)×p(E1)=12+p(E2/¯E1)×p(¯E1)=49
3) En+1=(En+1∩En)∪(En+1∩¯En), d'après l'axiome des probabilités totales.
D'où : p(En+1)=p(En+1∩En)+p(En+1∩―En)
Donc, pn+1=p(En+1/En)×pn+p(En+1/¯En)×p(¯En)
Ce qui donne pn+1=12×pn+13×(1−pn)
D'où : pn+1=16pn+13
4) Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul n, par : un=pn−25
a)
$un+1=pn+1−25=16pn+13−25=16pn−115=16(pn−25)un+1=16un
D'où : (un)n≥1 est une suite géométrique de raison q=16 et de premier terme u1=415
b) un=u1(16)n−1,
d'où, un=415(16)n−1 et un=415(16)n−1+25 ; pour n≥1
c) Ainsi, limn→+∞pn=25 car q=16<1
Exercice 2
Partie A
Pour tout z∈C on note f(z)=z5+2z4+2z3−z2−2z−2
1) Déterminons le polynôme Q tel que, ∀z∈C, f(z)=(z3−1)Q(z)
En faisant la division euclidienne de f(z) par z3−1 on trouve que Q(z)=z2+2z+2
2) Résolvons dans C l'équation (E) : f(z)=0
$f(z)=0⇔(z3−1)(z2+2z+2)=0⇔z3−1=0ouz2+2z+2=0⇔(z−1)(z2+z+1)=0ouz2+2z+2=0
Ce qui donne :
z=1 ou z=−1−i√32 ou z=−1+i√32 ou z=−1−i ou z=−1+i
D'où, l'ensemble des solutions de l'équation f(z)=0 est : S={1; −1−i√32; −1+i√32; −1−i; −1+i}
3) a) Écriture des solutions de (E) sous forme trigonométrique.
On pose :
− z0=1=cos0+isin0 car arg(1)=0[2π]
− z1=−1−i√32, |z1|=1 et argz1=2π3[2π]
d'où : z1=cos2π3+isin2π3
− z2=−1+i√32=¯z1, |z2|=1 et argz2=−2π3[2π]
d'où : z2=cos2π3−isin2π3
− z3=−1+i, |z3|=√2 et argz3=3π4[2π]
d'où : z3=cos3π4+isin3π4
− z4=−1−i=¯z3, |z4|=√2 et argz4=−3π4[2π]
d'où : z4=cos3π4−isin3π4
b) Plaçons les points G; A; D; B et C d'affixes respectives z0; z1; z2; z3 et z4 dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormale (O; →u, →v)
Partie B
z→BC=−2i et z→AD=−i d'où z→BC=2z→AD ce qui implique que (BC) et (AD) sont parallèles.
z→AB=−12+i(1−√32) et z→CD=12+i(1−√32)
z→ABz→CD non réel donc, (AB) et (CD) sont sécantes.
Or (BC) et (AD) parallèles, et puis AB=CD donc ABCD est un trapèze isocèle.
2) r étant une rotation de centre Ω qui transforme A en D. On a : r(Ω)=Ωetr(A)=D
Soit f l'application de C dans C associée à r, alors f(z)=az+bavec a∈C∗∖{1}, b∈C et |a|=1
r(Ω)=Ω équivaut à f(zΩ)=zΩ et r(A)=D équivaut à f(zA)=zD. Ce qui donne : {zΩ=azΩ+bzD=azA+b
Ce qui donne f(z)=1+i√32z+1−i√32
3) Nature du triangle ΩAD
On sait que r(A=D donc ΩA=ΩD=3 , or AD=|zD−zA|=√3,
d'où triangle ΩAD est isocèle en Ω.
4) Soit S le centre du cercle circonscrit au triangle ΩAD.
Puisque le triangle ΩAD est isocèle en Ω donc S appartient à la médiatrice du segment [AD] qui est l'axe réel, ce qui implique que zS l'affixe de S est réelle et SA=SD.
On pose zS=x (x∈R) , puisque S est le centre du cercle circonscrit au triangle ΩAD on a aussi : |zS−zΩ|=|zS−zD|
Ce qui implique |x−1|=|x+1−i√32|
d'où : (x−1)2=(x+12)2+34
ou x2−2x+1=x2+x+14+34
Ce qui donne x=0.
Donc, S est confondu avec O l'origine du repère d'affixe 0.
5) un=(zA)n, n∈N∗ , où zA est l'affixe du point A.
On sait que zA=−12+i√32=ei2π3 , d'où un=ei2nπ3
un est réel si, et seulement si, sin2πn3=0 , ce qui implique : 2π3n=kπ, k∈Z, n∈N∗ n=32k, k∈Z, n∈N∗
En prenant k=2; alors 3 est la valeur minimale de n pour que un soit un réel.
6) La forme algébrique de u2019 :
d'où : u2019=1
Problème
Partie A
Soit g la fonction numérique définie pour tout réel x par : g(x)=−1+xex2
1) limx→+∞xex2=+∞ ce qui implique que limx→+∞g(x)=+∞
On sait que limX→−∞XeX=0 ce qui implique après un changement de variable que limx→−∞g(x)=−1
2)
$\left\lbracex→ex2 est définie, continue et dérivable sur R par composéex→xex2 est définie, continue et dérivable sur R par produitd'où g : x→−1+xex2 est définie, continue et dérivable sur R par somme
$g′(x)=ex2+12xex2=ex2(1+12x)=12ex2(x+2)
g′(x) a le même signe que x+2 :
− sur ]−∞; −2[, g′(x)<0
− sur ]−2; +∞[, g′(x)>0
− et g′(0)=0 si x=−2
3) g est continue et strictement croissante sur ]−2; +∞[, donc g est une bijection de ]−2; +∞[ sur g(]−2; +∞[)=]−1−2e; +∞[
Or 0∈]−1−2e; +∞[, donc l'équation g(x)=0 admet une unique solution α∈]−2; +∞[
g(0.70)≃−0.007 et g(0.71)≃−0.012, d'où g(0.7)×g(0.71)<0
donc α∈]0.70; 0.71[
− sur ]−∞; +α[, g(x)<0 ;
− sur [α; +∞[, g(x)≥0
Partie B
1) Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x)=−x+2+(2x−4)ex2
a)
$\left\lbracex→ex2 est dérivable sur R par composéex→x−2 est dérivable sur Rx→(2x−4)ex2 est dérivable sur R par produitd'où f : x→−x+2+(2x−4)ex2 est dérivable sur R par somme
$f′(x)=−1+ex2(2+12(2x−4))=−1+ex2(2+x−2)=−1+xex2
d'où f′(x)=g(x) pour tout réel x.
b) Donc, f′(x)<0 sur ]−∞; +α[; f′(x)≥0 sur [α; +∞[
c) On sait que, d'après 3) Partie A, g(α)=0 ce qui est équivalent à αeα2 ou encore eα2=1α avec α∈]0.70; 0.71[
d'où f(α)=−α+2+(2α−4)1α
Donc f(α)=4−α−4α
2) 0.70≤α≤0.71
ce qui implique : 4−40.70−0.71≤4−4α−α≤4−40.71−0.70, d'où −2.4≤f(α)≤−2.3
3) a)
$limx→+∞f(x)=limx→+∞−x+2+(2x−4)ex2=limx→+∞(−x+2)(1−2ex2)=+∞
$limx→+∞f(x)x=limx→+∞(−1+2x)(1−2ex2)=+∞
b)
$limx→−∞f(x)=limx→−∞−x+2+(2x−4)ex2=limx→−∞(−x+2)(1−2ex2)=+∞
4) limx→−∞(f(x)−(−x+2))=limx→−∞xex2−4ex2=0
Donc, (D) : y=−x+2 est une asymptote à la courbe (Cf) au voisinage de −∞
5)
6)
7)
$I(x)=∫x0(2t−4)et2dt=[(4t−16)et2]x0
d'où I(x)=(4x−16)ex2+16
8)
$A=∫0λ(−x+2+x−2−(2x−4)ex2)dx×u.a=∫λ0(2x−4)ex2dx×4cm2=[(4λ−16)eλ2+16]×4cm2
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