Corrigé du baccalauréat S Amérique du nord du 2 juin 2017
Exercice 1
Dans tout l’exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième.
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.
Partie A
Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces
devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant
des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance$ μ = 2900$ euros et d’écart-type$ σ =
1250$ euros.
1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la probabilité que lemontant
du devis soit supérieur à$ 4 000 euros$ ?
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Solution : On cherche $P (X >4000)$ D’après la calculatrice on a $P (X >4000) ≈0,189$ |
2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à $10%$ des demandes.
Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimum
d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner cemontant à l’euro près.
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Solution : On cherche le réel$ x$ tel que $P(X 6 x)= 0,10$ À l’aide de la calculatrice on trouve $x ≈ 1298$ Donc pour être accepté, un devis devra être d’unmontant supérieur ou égal à $1298 euros$ |
Partie B
Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages indésirables ap-
pelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé « dossier spam». Le
fabricant affirme que $95%$ des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que $60%$ des messages qu’il
reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que $58,6%$ des messages sont déplacés dans le
dossier spam. Pour unmessage pris au hasard, on considère les évènements suivants :
• $D$ : « lemessage est déplacé » ;
• $S$ : « lemessage est un spam».
1. Calculer $P(S ∩D)$.
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Solution : L’énoncé donne $P_{S}(D) = 0,95$ et $P(S) = 0,6$ donc $P(S ∩D) = P_{S}(D)×P(S) =0,57$ |
2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est
égale à $0,04$.
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Solution : On cherche $P_{\bar{S}}(D)$. L’énoncé donne $P(D) = 0,586$. Comme $S$ et $S$ forment une partition de l’univers alors d’après les probabilités totales on a : $P(D) =P(S ∩D)+P(\bar{S} ∩D)$soit $P(\bar{S}∩D)= P(D)−P(\bar{S} ∩D) = 0,586−0,57 = 0,016$ donc $P_{\bar{S}}(D)×P(\bar{S})= P\bar{S} ∩D= 0,016 $or $P(\bar{S})= 1−P(\bar{S}) = 0,4$ On a donc bien $P_{\bar{S}}(D) =\frac{P\bar{S} ∩D}{P\bar{S}} =\frac{0,016}{0,4} =0,04$ |
3. On choisit au hasard unmessage non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam?
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Solution : On cherche $P_D(S)$. $ P_{ \bar{D}}(S)=\frac{P_{S}\bar{D} ∩S}{P(\bar{D})}=\frac{P_{S}D×P(S)}{1−P(D)}=\frac{(1−P_{S} (D))×0,6}{0,414} =\frac{0,03}{0,414} =\frac{5}{69} ≈0,07254$ |
4.Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que $2,7%$ des messages déplacés vers le dossier
spam sont desmessages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter
le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve $13$ messages fiables parmi les$ 231$
messages déplacés pendant une semaine.
Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant ?
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Solution : La proportion théorique supposée demessages fiables parmi les déplacés est $p = 0,027$. La taille de l’échantillon étudié est $n = 231$. On a$ n >30, np ≈ 6>5 et n(1−p)≈ 225>5$, on peut donc bâtir l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95%$ $I =[p −1,96×\frac{\sqrt{p(1−p)}}{\sqrt{n}}; p +1,96×\frac{\sqrt{p(1−p)}}{v}] p −1,96×\frac{\sqrt{p(1−p)}}{\sqrt{n}} ≈ 0,0061$ et $p +1,96×\frac{\sqrt{p(1−p)}}{\sqrt{n}} ≈ 0,0479$ La fréquence observée de messages fiables parmi les déplacées est $f =\frac{13}{231} ≈0,056$ alors $f ∉ I$ On peut donc affirmer, au risque de $5%$ de se tromper, que l’estimation du fabricant est erronée. |
Exercice 2
Commun à tous les candidats
Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte
(non encore construit) ne peut excéder $4$ mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur a
telle que $0 < a 62$.
Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée 
par la figure ci-contre. Les côtés $[AD] $et $[BC]$ sont
perpendiculaires au seuil$ [CD]$ du portail. Entre les
points $A$ et $B$, le haut des vantaux a la forme d’une portion
de courbe.
Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur $[−2 ; 2]$ par :
$f (x) = −\frac{b}{8}(e^{\frac{x}{b}} +e^{−\frac{x}{b}})+\frac{9}{4}$où $b > 0$. 
Le repère est choisi de façon que les points $A, B, C$ et $D$ aient
pour coordonnées respectives $(−a ; f (−a)), (a ; f (a)), (a ; 0)$
et $(−a ; 0)$ et on note $S$ le sommet de la courbe de$ f $, comme
illustré ci-contre.
Partie A
I. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle $[−2 ; 2], f (−x) = f (x)$. Que peut-on en déduire pour
la courbe représentative de la fonction$ f $?
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Solution : $f (−x) =−\frac{b}{8}(e^{\frac{x}{b}} +e^{−\frac{x}{b}})+\frac{9}{4}=−\frac{b}{8}(e^{\frac{x}{b}} +e^{−\frac{x}{b}})+\frac{9}{4}= f (x)$ On a donc bien pour tout x de $[−2 ; 2], f (−x) = f (x)$. On en déduit que $f $est paire et que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. |
2. On appelle $f′$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−2 ; 2] :
f ′(x) = −\frac{1}{8}(e^{\frac{x}{b}}-e^{−\frac{x}{b}})$.
Solution : $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $R$ donc elle est dérivable sur $R$. $f = −\frac{b}{8}(e^{u} +e^{−u})+\frac{9}{4} \Leftrightarrow{ f ′ = −\frac{b}{8}}(u′e^{u} −u′e^{−u})=−\frac{b}{8}\times{u′ (e^{u}} −e^{−u})$ |
3. Dresser le tableau de variations de la fonction$ f$ sur l’intervalle $[−2 ; 2]$ et en déduire les coordonnées du
point $S$ en fonction de $b$.
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Solution : $f ′(x)$ est du signe de $e−^{\frac{x}{b}} −e^{\frac{x}{b}} e−^{\frac{x}{b}} −e^{\frac{x}{b}}\geq{0}\Leftrightarrow{e^{\frac{x}{b}}}>e−^{\frac{x}{b}} \Leftrightarrow{\frac{x}{b}}\geq{−\frac{x}{b}} \Leftrightarrow{2}\frac{x}{b}>0 \Leftrightarrow{x} \geq{0}$ car $b > 0$ On en déduit les variations de $f$ sur $[−2 ; 2] $:  On en déduit les coordonnées du sommet :$ S(0 ;\frac{9−b}{4}$. |
Partie B
La hauteur dumur est de $1,5m$. On souhaite que le point $S$ soit à $2m$ du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.
1. Justifier que $b = 1$.
| Solution : $S$ est à $2m $du sol donc son ordonnée est$ 2$ d’où $\frac{9−b}{4} = 2\Leftrightarrow{b = 1}$. |
2. Montrer que l’équation $f (x) =1,5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0 ; 2] $et en déduire une valeur
approchée de a au centième.
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Solution : $f (0) = 2$ et $f (2) = −\frac{1}{8}(e^{−2}+e^{2})+\frac{9}{4} ≈ 1,31$ Sur $[0 ; 2]$, f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $[f (2) ; 2]$or $1,5 ∈[f (2); 2]$donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 1,5$ admet une unique solution sur $[0 ; 2]$ Par balayage on obtient $1,762 < a < 1,763$ soit $a ≈ 1,76$ |
3. Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un
vantail excède $60 kg$. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à
$20 kg.m^{−2}$. Que décide le client ?
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Solution : L’aire d’un vantail est donné par $Z^{a}_{0}f (x) dx$ car $f (x)\geq{0}$ sur $ [0 ; a] $et l’unité d’aire est de $1 m^{2}$. $\int_{0}^{1,8} \! f(x) \, \mathrm{d}x =\int_{0}^{1,8}(−\frac{1}{8}(e^{x} +e^{−x})+\frac{9}{4})dx =[−\frac{1}{8}(e^{x} −e^{−x} )+\frac{9}{4}x]_¸1,8^{0} =−\frac{1}{8}(e^{1,8}−e^{−1,8})+0,405]−0 ≈3,314$ Donc un vantail pèse environ $20×3,3 = 66 kg$. Le client va donc décider demotoriser son portail. |
Partie C
On conserve les valeurs $a =1,8$ et $b = 1$.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées
: soit un rectangle $OCES$, soit un trapèze $OCHG$ comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième
méthode, la droite $(GH)$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $F$ d’abscisse $1$.
Forme $1$ : découpe dans un rectangle Forme $2$ : découpe dans un trapèze
La forme $1$ est la plus simple, mais visuellement la forme $2$ semble plus économique.
Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme $2$ plutôt que la forme $1$.
On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base
et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze :
$Aire =\frac{b +B}{2} ×h$.
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Solution : L’aire du rectangle $OCES$ est $OS×OC = 2a = 3,6m^{2}$ La tangente au point d’abscisse $1$ a pour équation $y = f ′(1)(x −1)+ f (1)$ donc $OG = −f ′(1)+ f (1) ≈ 2,158$ en remplaçant $x$ par $0$ dans l’équation précédente. De même $HC = 0,8f ′(1)+ f (1) ≈ 1,629$ en remplaçant $x$ par $a =1,8$. L’aire du trapèze est donc $\frac{HC+OG}{2} ×OC ≈\frac{3,787}{2} ×1,8 =0,9×3,787 ≈ 3,41m^{2}$ L’économie avec la formule $2$ serait donc d’environ $0,2 m^{2}$ par vantail soit$ 0,4 m^{2}$ pour le portail. |
Exercice 3
Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_{0}$ est strictement supérieur
à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n >0$, la somme des n premiers termes consécutifs
est égale au produit des n premiers termes consécutifs.
On admet qu’une telle suite existe et on la note $(u_{n})$. Elle vérifie donc trois propriétés :
• $u_{0} > 1$,
• pour tout $n >0, u_{n} >0$,
• pour tout $n > 0, u_{0}+u_{1} +···+u_{n−1} = u_{0}×u_{1} ×···×u_{n−1}$.
1. On choisit $u_{0} = 3$. Déterminer $u_{1}$ et $u_{2}$.
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Solution : $u_{0}+u_{1} =u_{0} ×u_{1}\Leftrightarrow{3+u_{1}} =3u_{1}\Leftrightarrow{2u_{1} }= 3\Leftrightarrow{u_{1}} =\frac{3}{2} u_{0}+u_{1}+u_{2} =u_{0}\times{u_{1}}\times{u_{2}}\Leftrightarrow{\frac{9}{2} }+u_{2} =\frac{9}{2}u_{2}\Leftrightarrow{\frac{7}{2}}u_{2} =\frac{9}{2} \Leftrightarrow{u_{2}} =\frac{9}{7}$ |
2. Pour tout entier n$ > 0$, on note $s_{n} =u_{0}+u_{1} +···+u_{n−1} = u_{0}×u_{1} ×···\times{u_{n−1}}$.
On a en particulier $s_{1} = u_{0}$·
a. Vérifier que pour tout entier $n > 0, s_{n+1} = s_{n} +u_{n}$ et $s_{n} >1$.
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Solution : $∀n ∈N∗, s_{n+1} = u_{0}+u_{1} +···+u_{n−1} +u_{n} = s_{n} +u_{n} ∀n ∈N∗, u_{n} >0$ donc $u_{1}+u_{2}+···+u_{n−1} >0$ d’où $s_{n} =u_{0}+u_{1}+u_{2}+···+u_{n−1} >u_{0} > 1$ |
b. En déduire que pour tout entier $n > 0,
u_{n} =\frac{s_{n}}{s_{n −1}}$.
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Solution : $∀n ∈ N∗, s_{n+1} = u_{0}+u_{1}×···\times{u_{n−1}}\times{u_{n}} = s_{n} \times{u_{n}}$ or $sn+1 = s_{n} +u_{n}$ d’après la question précédente. On a donc $∀n ∈N∗, s_{n} \times{u_{n}} = s_{n} +u_{n} \Leftrightarrow{u_{n}}(s_{n −1}) = s_{n} \Leftrightarrow{u_{n}} =\frac{s_{n}}{s_{n −1}}$ car $s_{n}\neq{1}$ |
c. Montrer que pour tout $n >0, u_{n} > 1$.
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Solution : un est le quotient de deux réels strictement positifs car $s_{n} > 1$ or le dénominateur est plus petit que le numérateur on en déduit donc que $∀n ∈N, u_{n} > 1$. |
3.
À l’aide de l’algorithme ci-contre, on veut calculer
le terme un pour une valeur de$ n$ donnée.
a. Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-contre.
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Entrée : Saisir $n$ Saisir $u$ Traitement : s prend la valeur $u$
Pour i allant de $1$ à $n$ :
$u$ prend la valeur . . .
Fin Pour
Sortie : Afficher $u$ |
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Solution : Traitement : $s$ prend la valeur $u$ Pour i allant de $1$ à $n $: $u$ prend la valeur $\frac{s}{s −1}$ $s $prend la valeur $s +u$ Fin Pour |
b. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de un pour différentes valeurs de l’entier
| $n$ | $0$ | $5$ | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ |
| $u_{n}$ | $3$ | $1,140$ | $1,079$ | $1,043$ | $1,030$ | $1,023$ |
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $(u_{n})$ ?
Solution : Il semblerait que la suite $(u_{n})$ converge vers $1$.
4. a. Justifier que pour tout entier $n > 0, s_{n} > n$.
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Solution : $∀n ∈N, u_{n} >1$ donc sn est la somme de $n$ nombres tous strictement supérieurs à $1$, on a donc bien $∀n ∈N, sn >n$. |
b. En déduire la limite de la suite $(s_{n})$ puis celle de la suite $(u_{n})$.
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Solution : Pour tout $n, s_{n} > n$ donc, par comparaison, $\lim\limits_{x \to +∞}s_{n} = +∞$. De plus, comme $s_{n}\ne{0}$ et que pour tout $n, u_{n} =\frac{s_{n}}{s_{n −1}}$, on a : $u_{n} =\frac{s_{n}}{s_{n}(1−\frac{1}{s_{n}})} =\frac{1}{1−\frac{1}{s_{n}}}$; donc, d’après les théorèmes sur les limites :$\lim\limits_{x \to +∞}u_{n}=1$. |
Exercice 4
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith.
Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonorme $(O,\vec{I},\vec{j},\vec{k})$.
Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires $SEF$ et $SFG$.
• Les plans $(SOA)$ et $(SOC)$ sont perpendiculaires.
• Les plans $(SOC)$ et $(EAB)$ sont parallèles, demême que les plans $(SOA)$ et $(GCB)$.
• Les arêtes $[UV)$ et $[EF]$ des toits sont parallèles.
Le point $K$ appartient au segment $[SE]$, le plan $(UVK)$ sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre
ombragée. Le plan $(UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $KMNP$ qui est la limite ombre-soleil.
1. Sans calcul, justifier que :
a. le segment $[KM]$ est parallèle au segment $[UV]$ ;
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Solution : Le plan $(UVK)$ et le plan $(SEF)$ contiennent deux droites parallèles $(EF)$ et $(UV)$. Ces deux plans se coupent suivant la droite $(KM)$ donc d’après le théorème du toit on en déduit que $(KM)$ et $(UV)$ sont parallèles |
b. le segment $[NP]$ est parallèle au segment $[UK]$.
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Solution : Le plan $(UVK)$ coupe le plan $(SOA)$ suivant la droite $(UK)$ et le plan $(BCG)$ suivant la droite $(NP)$. Les plans $(SOA)$ et $(BCG)$ sont verticaux donc parallèles (du moins on doit le supposer) ; on en déduit alors que les droites $(UK)$ et $(NP)$ sont parallèles. |
2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $(O,\vec{I},\vec{j},\vec{k})$. Les coordonnées des différents
points sont les suivantes : $A(4 ; 0 ; 0), B(4 ; 5 ; 0), C(0 ; 5 ; 0)$,
E(4 ; 0 ; 2, 5), F(4 ; 5 ; 2,5), G(0 ; 5 ; 2,5), S(0 ; 0 ; 3,5), U(0 ; 0 ; 6)$ et$ V(0 ; 8 ; 6)$.
On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan $(UVK)$ qui
sépare les zones ombragée et ensoleillée.
a. Au moment le plus ensoleillé, le point $K$ a pour abscisse $1,2$. Vérifier que les coordonnées du point $K$
sont $(1,2 ; 0 ; 3,2)$.
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Solution : $K ∈ [SE]$ donc $\vec{ SE}$ et $\vec{SK}$ sont colinéaires donc il existe un réel $α$ non nul tel que $\vec{SK} = α\vec{SE} \vec{SE}$or l’abscisse de $\vec{SK}$ est $1,2$. On en déduit que $α =0,3$ d’où −→ SK $1,20−0,3$ soit $K(1,2 ; 0 ; 3,2)$ |
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(7 ; 0 ; 3)$ est un vecteur normal au plan $(UVK)$ et en déduire
une équation cartésienne du plan $(UVK)$.
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Solution : On a$\bar{n} ·\bar{UV} =0+0+0 = 0$ et$\bar{n} ·\bar{UK} = 8,4+0−8,4 = 0 \vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(UVK)$ puisqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. On en déduit $(UVK) : 7x +3z +d = 0$ or $U(0 ; 0 ; 6) ∈ (UVK)$. Finalement $(UVK)$ a pour équation :$ 7x +3z −18 =0$. |
c. Déterminer les coordonnées du point $N$ intersection du plan $(UVK)$ avec la droite $(FG)$.
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$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{rcl} 7x +3z −18 = 0 &>& 0 \\ y=0 &>& 0\\ z=2,25 &>& 0 \end{array}\right.$ |
solution
première méthode: astucieuse
On remarque que la droite (FG) est l'ensemble des points de l'espace vérifiant $y=5$ et $z=2,5$
Le point d'intersection entre (UVK) et (FG) vérifie donc
$\begin{cases}
7x+3z-18=0\\y=5\\z=2,5
\end{cases} \equi \begin{cases}
x=1,5\\y=5\\z=2,5
\end{cases}$
deuxième méthode: classique
Une représentation paramétrique de la droite (FG) est
$\begin{cases}
x=4-4t\\y=5\\z=2,5
\end{cases}~(t \in \R)$ car
$\vect{\text{FG}}\begin{pmatrix}
-4\\0\\0
\end{pmatrix}$
On doit résoudre le système
$\begin{cases}
x=4-4t\\y=5\\z=2,5\\7x+3z-18=0
\end{cases} \equi
\begin{cases}
x=4-4t\\y=5\\z=2,5\\28t=17,5
\end{cases}\equi
\begin{cases}
x=4-4t\\y=5\\z=2,5\\t=\dfrac{5}{8}
\end{cases}\equi
\begin{cases}
x=1,5\\y=5\\z=2,5
\end{cases}$
\vspace{0.5cm}
Finalement N(1,5~;~5~;~2,5)
\end{solution}
d. Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
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Solution : On place d’abord le point K sur $[SE]$ en utilisant $\vec{SK} =0,3\vec{SE}$ . On trace ensuite la parallèle à $(UV)$ passant par $K$ pour trouverMsur $[SF]$. On place $N$ sur $[FG]$ en utilisant $\vec{FN} =\frac{5}{8}\vec{FG}$ Puis on trace $[MN]$ et la parallèle à $(UK)$ passant par $N$ pour trouver $P$ |
3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment $[SG]$ avec l’horizontale doit être supérieur
à $7°$. Cette condition est-elle remplie ?
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Solution : $\bar{GS} ·\bar{CO} =GS×CO×cos(\bar{GS},\bar{CO}) \Coord{\bar{GS}}{0}{-5}{1},\Coord{AB}{0}{-5}{0}$ donc $GS = \sqrt{26} , CO=5$ et $\vec{GS}·\vec{CO} = 25$ |
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On a alors $cos(\vec{GS}), \vec{CO})=\frac{25}{5\sqrt{26}} =\frac{5\sqrt{26}}{26}$. On en déduit $(\vec{GS},\vec{CO})≈ 11°$. La condition est donc remplie. |
Exercice 4
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes
Partie A
Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme $A $:
cirque - éveilmusical, et le programme $B$ : théâtre - arts plastiques.
À sa création en $2014$, l’association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme $A$.
Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à $150$.
On dispose également des informations suivantes :
Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme : soit le programme $A$, soit le programme $B$.
D’une année à l’autre, $20%$ des inscrits au programme $A$ choisissent à nouveau le programme $ A$, alors que $40%$
choisissent le programme $B$. Les autres quittent l’association.
D’une année à l’autre, $60%$ des inscrits au programme $B$ choisissent à nouveau le programme $B$ et les autres
quittent l’association.
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme $A$.
Onmodélise le nombre d’inscrits au programme $A$ et le nombre d’inscrits au programme $B$ durant l’année $2014+n$
respectivement par deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ et on noteUn lamatrice ligne ¡an bn¢. On a donc $U_{0} =o150 0)$.
1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1} =U_{n}M$ où $M (0,6 0,4 0,4 0,6)$.
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Solution :D’après l’énoncé le nombre de personnes quittant l’association à la fin de l’année n est donné par $0,4a_{n} +0,4b_{n}$ D’une année sur l’autre le programme $A$ récupère $20%$ des ses anciens inscrits et les nouveaux inscrit correspondants au nombre des personnes ayant quitté l’association à la fin de l’année précédente. On a donc $a_n+1} =0,2a_{n} +0,4a_{n} +0,4b_{n} = 0,6a_{n} +0,4b_{n}$. Demême $b_{n+1} = 0,4a_{n} +0,6b_{n}$. La situation est donc résumée par le système $(S) : \begin{cases} a_{n+1}&=0,6a_{n} +0,4b_{n}\\(S) $\Leftrightarrow{U_{n+1} }=U_{n}M$ avec $M =0,6 0,4 0,4 0,6$ |
D’une année sur l’autre le programme A récupère $20%$ des ses anciens inscrits et les nouveaux inscrit
correspondants au nombre des personnes ayant quitté l’association à la fin de l’année précédente. On
a donc $a_{n+1} =0,2a_{n} +0,4a_{n} +0,4b_{n} = 0,6a_{n} +0,4b_{n}$.
Demême $b_{n+1} = 0,4a_{n} +0,6b_{n}$.
La situation est donc résumée par le système $(S) :
(a_{n+1} = 0,6a_{n} +0,4b_{n}b_{n+1} = 0,4a_{n} +0,6b_{n}
(S) \Leftrightarrow{U_{n+1} }=U_{n}M$ avec $M =0,6 0,4 0,4 0,6$
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n, U_{n} =75+75×0,2^{n} 75−75×0,2^{n})$.
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Solution : On démontre cette propriété par récurrence. Initialisation :$U_{0} = (150 0)$ et $75+75×0,20 75−75×0,20= (150 0)$. La propriété est donc vérifiée au rang $0$. Hérédité : soit un entier naturel $p\GEQ{0}$ tel que $u_{p} =(75+75×0,2^{p} 75−75×0,2^{p})$. Alors $U_{p+1} =U_{p}M =(0,6×(75+75×0,2^{p} )+0,4×(75−75×0,2^{p} ) 0,4×(75+75×0,2^{p} )+0,6×(75−75×0,2^{p} )$ |
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$=(75+0,2×75×0,2^{p} 75−0,2×75×0,2^{p}) =(75+75×0,2^{p+1} 75−75×0,2^{p+1})$ La propriété est donc héréditaire à partir du rang $0$. La propriété est donc héréditaire à partir du rang $0$ et elle est vérifiée au rang $0$. Finalement on a bien $∀n ∈N,U_{n} =(75+75×0,2^{n} 75−75×0,2^{n})$ |
3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
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Solution : $\lim\limits_{x \to +∞}0,2^{n} = 0$ car $−1 < 0,2 < 1$, on en déduit que $\lim\limits_{x \to +∞} u_{n}(75 75)$ Donc à long terme les effectifs s’équilibreront entre les deux programmes. |
Partie B
L’association affecte à chaque enfant un numéro à$ 6$ chiffres $c1c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}k$. Les deux premiers chiffres représentent
l’année de naissance de l’enfant les trois suivants sont attribués à l’enfant aumoment de sa première inscription.
Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :
• on effectue la somme $S =c_{1} +c_{3} +c_{5} +a ×(c_{2}+c_{4})$ où a est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
• on effectue la division euclidienne de $S$ par $10$, le reste obtenu est la clé $k$.
Lorsqu’un employé saisit le numéro à $6$ chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le
sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.
1. Dans cette question seulement, on choisit $a = 3$.
a. Le numéro $111383$ peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?
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Solution : Pour ce numéro, $S = 1+1+8+3×(1+3) = 22$ et $22 = 10×2+2$ donc la clé associée au cinq premiers chiffres est $2$ et non $3$. Le numéro indiqué ne peut donc pas avoir été attribué à un enfant de l’association. |
b. L’employé, confondant un frère et une soeur, échange leurs années de naissance : $2008$ et $2011$. Ainsi,
le numéro $08c_{3}c_{4}c_{5}k$ est transformé en $11c_{3}c_{4}c_{5}k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
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Solution : Soit $S_{1}$ et $S_{2}$ les sommes associées à ces deux numéros. $S_{1} = c_{3}+c_{5}+3×(8+c_{4}) = c_{3}+3c_{4}+c_{5}+24$ et $S_{2} = 1+c_{3}+c_{5}+3×(1+c_{4} )= c_{3}+3c_{4}+c_{5}+4 = S_{1}+20$ On a donc $S_{2} ≡S_{1}(10)$ donc les clés associées à ces deux séries de cinq chiffres sont lesmêmes. L’erreur ne sera donc pas détectée. |
2. On note $c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}k$ le numéro d’un enfant.On cherche les valeurs de l’entier a pour lesquelles la clé détecte
systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$ sont intervertis. On suppose donc que les
chiffres sont distincts.
a. Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$ si et seulement si
$(a −1) (c_{4}−c_{3})$ est congru à$ 0$ modulo $10$.
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Solution : Soit $S$ la somme avant l’inversion et $S_{i}$ la somme après l’inversion. $S = c_{1}+c_{3} +c_{5} +a ×(c_{2} +c_{4})$ et $S_{i} =c_{1} +c_{4} +c_{5} +a ×(c_{2} +c_{3})$ La clé ne détecte pas l’erreur si et seulement si $S ≡ S_{i} [10]$. $S_{i} ≡ S (10) \Leftrightarrow{S} −S_{i} ≡0 (10) \Leftrightarrow{c_{3}−c_{4} +a (c_{4} −c_{3})} ≡ 0 (10) \Leftrightarrow{(a −1)} (c_{4}−c_{3}) ≡ 0 (10)$ |
b. Déterminer les entiers n compris entre $0$ et $9$ pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre $1$ et $9$ tel
que $np ≡ 0 (10)$.
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Solution : Le tableau suivant donne les restes de la division de $np$ par $10$, et donne ainsi tous les couples $(n , p)$ vérifiant $np ≡0 (10)$ :  Pour tout $n ∈{0 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8}$, il existe au moins un entier p compris entre $1$ et $9$ tel que $np ≡ 0 (10)$. |
c. En déduire les valeurs de l’entier a qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l’interversion
des chiffres $c_{3}$ et $c_{4}$.
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Solution : $1\leq{a}\leq{9}\Leftrightarrow{0}6\leq{a−1}\leq{8}$ Les valeurs $a −1$ ne permettant pas la détection d’inversion entre $c_{3}$ et $c_{4}$ sont ${0 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8}$. Donc celles permettant la détection systématique sont ${1 ; 3 ; 7}$. Les valeurs de a permettant à coup sûr la détection de l’inversion entre $c_{3}$ et $c_{4}$ sont donc $2, 4$ et$ 8$. |
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