Corrigé BFEM Mathématiques 2025

 

Exercice 1 : QCM (6 points)

 Question 1 :

$$
\sin(\widehat{RSU}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{RS}{SU}
\Rightarrow \frac{3}{SU} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\Rightarrow SU = 3 \cdot \frac{2\times 3}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
$$

Réponse correcte : C

 

 Question 2 :

Résolvons $(3 - 2x)(1 - x) < 0$
Racines : $x = \frac{3}{2}$ et $x = 1$
Signe du produit négatif entre les racines :

$$
\boxed{x \in \left]1 ; \frac{3}{2} \right[}
$$

Réponse correcte : C

 

 Question 3 :

Translation du point A(3, –2) par le vecteur $\vec{u}(-1, 2)$

$$
A' = (3 - 1, -2 + 2) = (2, 0)
$$

Réponse correcte : A

 

 Question 4 :

Soit $g(x) = ax + b$
On a :

 $g(3) = 3 \Rightarrow 3a + b = 3$
 $g(1) = -1 \Rightarrow a + b = -1$

Soustraction :

$$
(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1) \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = -3
$$

Donc $g(x) = 2x - 3$

Réponse correcte : B

 

 Question 5 :

Système :

$$
\begin{cases}
5x - 2y = 7 \\
-3x + 4y + 7 = 0 \Rightarrow -3x + 4y = -7
\end{cases}
$$

Méthode par combinaison : multiplions la première équation par 2 :

$$
10x - 4y = 14 \\
-3x + 4y = -7
\Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1
$$

Puis :
$5(1) - 2y = 7 \Rightarrow 5 - 2y = 7 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$

Réponse correcte : B

 

 Question 6 :

Thalès dans les triangles $LKH$ et $LAF$ :

$\frac{LK}{LF}=\frac{HK}{AF}$
$\frac{6}{6+x}=\frac{5}{5}$
$24+4x=30$
$4x=6$
$x=\frac{6}{4}$
$x=\frac{3}{2}$

Réponse correcte : C

 

 Question 7 :

$$
M = |3\sqrt{2} - 5| + 3\sqrt{1} - 6 - \sqrt{12}
= (5 - 3\sqrt{2}) + 3 - 6 - 2\sqrt{3} 
= (2 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})
$$

Aucune réponse exacte, mais approx. :

$$
\sqrt{2} \approx 1.41 \Rightarrow 3\sqrt{2} \approx 4.24 \\
\sqrt{3} \approx 1.73 \Rightarrow 2\sqrt{3} \approx 3.46 \\
M \approx 2 - 4.24 - 3.46 = -5.7
\Rightarrow -6 - 2\sqrt{3} \approx -6 - 3.46 = -9.46
$$

Réponse correcte : B

 

 Question 8 :

Dans un cercle : $\text{angle au centre} = 2 \times \text{angle inscrit} \Rightarrow \frac{y}{x} = 2$
Réponse correcte : B

 

 Réponses QCM finales :

1. C
2. C
3. A
4. B
5. B
6. C
7. B
8. B

 

Exercice 2 : Statistiques

 

1. Tableau statistique
Les données sont regroupées en classes d'amplitude 500, commençant par [8000, 8500[. Le tableau ci-dessous présente les classes, les effectifs, les fréquences (calculées comme effectif / 50), et les fréquences cumulées décroissantes (FCD) associées à la borne inférieure de chaque classe (proportion des observations supérieures ou égales à la borne inférieure).

Classe (milliers)	Effectif	Fréquence	FCD
[8000, 8500[	1	0,02	1,00
[8500, 9000[	4	0,08	0,98
[9000, 9500[	15	0,30	0,90
[9500, 10000[	20	0,40	0,60
[10000, 10500[	8	0,16	0,20
[10500, 11000[	2	0,04	0,04

 

- Explication des FCD :
  - Pour [8000, 8500[, FCD = fréquence des CA ≥ 8000 = 1,00.
  - Pour [8500, 9000[, FCD = fréquence des CA ≥ 8500 = 0,98.
  - Pour [9000, 9500[, FCD = fréquence des CA ≥ 9000 = 0,90.
  - Pour [9500, 10000[, FCD = fréquence des CA ≥ 9500 = 0,60.
  - Pour [10000, 10500[, FCD = fréquence des CA ≥ 10000 = 0,20.
  - Pour [10500, 11000[, FCD = fréquence des CA ≥ 10500 = 0,04.

 2. Chiffre d'affaires moyen
Le chiffre d'affaires moyen est calculé en utilisant les centres des classes (approximation pour données groupées). Les centres de classe sont :
- [8000, 8500[ : 8250
- [8500, 9000[ : 8750
- [9000, 9500[ : 9250
- [9500, 10000[ : 9750
- [10000, 10500[ : 10250
- [10500, 11000[ : 10750

Calcul de la moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{centre} \times \text{effectif})}{\text{total effectif}} = \frac{(8250 \times 1) + (8750 \times 4) + (9250 \times 15) + (9750 \times 20) + (10250 \times 8) + (10750 \times 2)}{50}
\]
\[
= \frac{8250 + 35000 + 138750 + 195000 + 82000 + 21500}{50} = \frac{480500}{50} = 9610
\]
Le chiffre d'affaires moyen est donc 9610 milliers de francs.

 3. Pourcentage de points de vente avec 9000 ≤ CA < 10500
Les classes incluses dans l'intervalle [9000, 10500[ sont :
- [9000, 9500[ : effectif 15
- [9500, 10000[ : effectif 20
- [10000, 10500[ : effectif 8

Effectif total dans l'intervalle : \(15 + 20 + 8 = 43\)

Pourcentage :
\[
\frac{43}{50} \times 100\% = 86\%
\]
Le pourcentage est donc 86%.

 4. Médiane \(m_e\) par la méthode de Thalès

Donnons d'abord le tableau des effectifs cumulés croissants

Classe (milliers)	Effectif cumulé croissant
[8000, 8500[	1
[8500, 9000[	5 (=1+4)
[9000, 9500[	20 (=5+15)
[9500, 10000[	40 (=20+20)
[10000, 10500[	48 (=40+8)
[10500, 11000[	50 (=48+2)

Traçons l'histogramme des effectifs cumulés croissants et le polygone des effectifs cumulés croissants

Pour obtenir la valeur exacte de la médiane M_e , on utilise une méthode par  le calcul par exemple celle utilisant Thalès : on nomme les triangles ABC et AMN.

ABC et AMN sont en position de Thalès.

\[
\frac{AN}{AB} = \frac{MN}{BC}
\]

\[
A(10000;40), \quad B(10000;20), \quad C(9500;20)
\]

\[
M(Me;25), \quad N(10000;25)
\]

Calcul de $\frac{AN}{AB}$ :

\[
\frac{AN}{AB}
=
\frac{40-25}{40-20}
=
\frac{15}{20}
=
\frac{3 \times 5}{4 \times 5}
=
\frac{3}{4}
\]

Calcul de $\frac{MN}{BC}$ :

\[
MN = 10000 - Me
\]
\[
BC = 10000 - 9500 = 500
\]

Donc,

\[
\frac{3}{4}
=
\frac{10000 - Me}{500}
\]

\[
\frac{3}{4} \times 500 = (10000 - Me)
\]

\[
375 = 10000 - Me
\]

\[
Me = 10000 - 375
\]

\[
Me = 9625
\]

 

Problème

 

 Partie I

 1. Montre que la génératrice du cône mesure 12,5

La génératrice $g$ d’un cône de révolution est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la hauteur $h$ et le rayon $r$ de la base.

On utilise le théorème de Pythagore :
\[
g = \sqrt{h^2 + r^2}
\]
Ici, $h = 12$ et $r = 3,5$.

\[
g = \sqrt{12^2 + 3,5^2} = \sqrt{144 + 12,25} = \sqrt{156,25} = 12,5
\]

La génératrice mesure donc $12,5 dm$.

 2. Calcule l'aire latérale $A_L$ du cône

La formule de l’aire latérale d’un cône est :
\[
A_L = \pi r g
\]
Avec $r = 3,5$, $g = 12,5$ et $\pi \approx 3,14$ :

\[
A_L = 3,14 \times 3,5 \times 12,5
\]
\[
A_L = 3,14 \times 43,75 = 137,375
\]

Aire latérale $A_L \approx 137,38$ (arrondi au centième) $dm^2$.

 3. Calcule le volume $V$ du cône

La formule du volume d’un cône est :
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
Avec $r = 3,5$, $h = 12$, $\pi \approx 3,14$ :

\[
V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times (3,5)^2 \times 12
\]
\[
(3,5)^2 = 12,25
\]
\[
V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 12,25 \times 12
\]
\[
3,14 \times 12,25 = 38,465
\]
\[
38,465 \times 12 = 461,58
\]
\[
V = \frac{461,58}{3} \approx 153,86
\]

Volume $V \approx 153,86$ $dm^3$.

 4. Hauteur du tronc de cône

La section est à une distance $\frac{3}{5}$ de la base, donc la hauteur du petit cône "coupé" est :
\[
h' = \frac{3}{5} \times 12 = 7,2
\]
La hauteur du tronc de cône est donc :
\[
h_{\text{tronc}} = h - h' = 12 - 7,2 = 4,8
\]

La hauteur du tronc de cône est $4,8$ dm.

 Partie II

 1. Masse de béton armé pour 100 bornes

On doit calculer le volume d’un tronc de cône, puis la masse pour 100 bornes.

 Le volume de béton armé nécessaire pour fabriquer une borne est le volume $v_t$ du tronc de cône.

Or,} $v_t = v - \left(\frac{2}{5}\right)^3 v = \left(1 - \left(\frac{2}{5}\right)^3\right) v = \frac{98}{125} v = \frac{98}{125} \times 49\pi \text{ dm}^3 = \frac{98}{125} \times 49\pi \times 10^{-3}\text{m}^3$.  $\textbf{1 pt}$

Le volume de béton nécessaire pour les 100 bornes est alors :} $V = 100 \times \frac{98}{125} \times 49\pi \times 10^{-3}\text{m}^3$.

La masse de béton est :} $M = 3000 \times 100 \times \frac{98}{125} \times 49\pi \times 10^{-3} \text{ kg}$.

$M = 36188 \text{ kg}$  

 2. Dépense en peinture

Soit $a_t$ l'aire latérale d'une borne. C'est aussi l'aire latérale du tronc de cône

Or,} $a_t = a_L - \left(\frac{2}{5}\right)^2 a_L = \left(1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2\right) a_L = \frac{16}{25} a_L = \frac{16}{25} \times 43,75\pi \text{ dm}^2$.  $\textbf{1 pt}$

L'aire de la surface latérale des 100 bornes est alors :
$$\mathcal{A} = 100 \times \frac{16}{25} \times 43,75\pi \text{ dm}^2 = \frac{16}{25} \times 43,75\pi \text{ m}^2$$

Le nombre de pot nécessaire est alors 88 pots.

La dépense en peinture est :  $88 \times 5000 \text{ F} = 440000\textbf{ F}$