Équations différentielles - T S

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Terminale

I Définitions

Soient $a_{0},\ a_{1},\ \ldots,\ a_{n}$ des constantes réelles, $y=y(x)$ une fonction de $x$. On appelle équation différentielle linéaire d'ordre $n$ à coefficients constants, une équation liant une fonction $y$ et ses dérivées successives $y',\ y'',\ \ldots,\ y^{(n)}.$ On a : $$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$$ où $g(x)$ est une fonction et $a_{n}\neq 0$.

Exemple :

$2y''-3y'+4y=\sin 2x$ est une équation différentielle linéaire du $2^{nd}$ ordre, à coefficients constants.
 
$\centerdot\ \ $ Pour $a_{n}\neq 0$, $(\mathbf{E})$: $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$ est une équation différentielle linéaire d'ordre $n$, à coefficients constants, non homogène ou avec $2^{nd}$ membre.
 
$\centerdot\ \ (\mathbf{E}')$: $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0$ est une équation différentielle linéaire d'ordre $n$, à coefficients constants, sans $2^{nd}$ membre ou homogène.
 
$\centerdot\ \ (\mathbf{E}')$ est associée à $(\mathbf{E})$.
 
$\centerdot\ \ $ Les solutions d'une équation différentielle sont des fonctions.
 
$\centerdot\ \ f$ est une solution d'une équation différentielle d'ordre $n$, à coefficients constants sur $\mathbf{I}$, si $f$ est $n$ fois dérivables sur $\mathbf{I}$ et $f$ vérifie l'équation.
 
$\centerdot\ \ $ L'ensemble des solutions d'une équation différentielle est appelé solution générale de l'équation différentielle.
 
$\centerdot\ \ $ Toute fonction vérifiant l'équation différentielle est appelée solution particulière.
 
$\centerdot\ \ $ Une solution qui vérifie des conditions initiales est appelée solution singulière.

II Théorèmes

Soit l'équation différentielle linéaire d'ordre $n$ à coefficients constants avec $2^{nd}$ membre ;  $$(\mathbf{E})\ :\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$$ et l'équation différentielle linéaire d'ordre $n$ à coefficients constants sans $2^{nd}$ membre ; 
$$(\mathbf{E}')\ :\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0$$
Si $f_{1}$ est une solution particulière de $(\mathbf{E})$ et  $f_{2}$ une solution générale de $(\mathbf{E}')$ alors, $$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$$ est solution générale de $(\mathbf{E}).$

Preuve

$f_{1}$ solution de $(\mathbf{E})$ alors $f_{1}$ est une fonction $n$ fois dérivable et  $$a_{n}f_{1}^{(n)}(x)+a_{n-1}f_{1}^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{2}f_{1}''(x)+a_{1}f_{1}'(x)+a_{0}f_{1}(x)=g(x)$$
$f_{2}$ solution de $(\mathbf{E}')$ alors $f_{2}$ est une fonction $n$ fois dérivable et  $$a_{n}f_{2}^{(n)}(x)+a_{n-1}f_{2}^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{2}f_{2}''(x)+a_{1}f_{2}'(x)+a_{0}f_{2}(x)=0$$
Et donc, $f_{1}+f_{2}$ est $n$ fois dérivable et $$\begin{array}{rcl} a_{n}(f_{1}+f_{2})^{(n)}(x)+a_{n-1}(f_{1}+f_{2})^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{2}(f_{1}+f_{2})''(x)+a_{1}(f_{1}+f_{2})'(x)+a_{0}(f_{1}+f_{2})(x)&=&g(x)\end{array}$$ 
Par suite,
$$\begin{array}{rcl} a_{n}(f_{1}^{(n)}(x)+f_{2}^{(n)}(x))+a_{n-1}(f_{1}^{(n-1)}(x)+f_{2}^{(n-1)}(x))+\ldots +a_{2}(f_{1}''(x)+f_{2}''(x))+a_{1}(f_{1}'(x)+f_{2}'(x))+a_{0}(f_{1}(x)+f_{2}(x))&=&g(x)\end{array}$$
D'où, $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ est solution de $(\mathbf{E})$.

III Équations différentielles linéaires d'ordre 1, à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants est une équation de la forme 
$$ay'+by=g(x)\quad\text{(avec second membre)}$$
$$ay'+by=0\quad\text{(sans second membre ou équation homogène)}$$

III.1 Recherche de la solution générale de l'équation homogène

Soit $\mathbf{E}')\ :\ ay'+by=0$ alors,
 
$\begin{array}{rcl} ay'=-by&\Rightarrow&\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{b}{a} \\ \\ &\Rightarrow&\ln|y|=-\dfrac{b}{a}x+c \\ \\ &\Rightarrow&|y|=\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x+c}=\mathrm{e}^{c}.\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x} \\ \\ &\Rightarrow&y=\pm\mathrm{e}^{c}.\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x}  \end{array}$
 
Soit $(\mathbf{E}')\ :\ ay'+by=0$ alors $ay'=-by$
 
Donc, $f_{2}$ est de la forme $$f_{2}(x)=y_{2}(x)=K\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x}$$ où $K$ est une constante.

III.2 Recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec 2nd membre

$\centerdot\ \ $ Une fonction $f_{1}$ est solution de $(\mathbf{E})$ si elle est dérivable et si elle vérifie $(\mathbf{E})$. $$af_{1}'(x)+bf_{1}(x)=g(x)$$
$\centerdot\ \ $ Si $g(x)$ est un polynôme de degré $n$, alors $f_{1}$ est aussi un polynôme de degré $n.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $g(x)$ est de la forme $a\cos\beta x$ / $a\sin\beta x$, $a\cos\beta x+b\sin\beta x$, alors $f_{1}$ sera de la forme $A\cos\beta x+B\sin\beta x.$

III.3 Solution générale de (E)

Une solution générale $y(x)$ de $(\mathbf{E})$ est donnée par  $$y(x)=f_{2}(x)+f_{1}(x)$$ où $f_{2}(x)$ est une solution générale de $(\mathbf{E}')$ et $f_{1}(x)$ une solution particulière de $(\mathbf{E})$.

Exercice d'application

Soit $\varphi$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ solution de l'équation différentielle $(\mathbf{E})\ :\ 2y'-3y=x^{2}+5$ dont la dérivée s'annule en 0.
 
1) Montrer qu'il existe un polynôme de degré 2, notée $f_{1}$, solution de $(\mathbf{E}).$
 
2) Résoudre l'équation différentielle $(\mathbf{E}_{1})\ :\ 2y'=3y$ et en déduire l'ensemble des solutions de $(\mathbf{E}).$
 
3) Déterminer $\varphi$ puis construire $(C_{\varphi})$ sa courbe représentative.

Résolution 

1) Soit $f_{1}$ une fonction polynôme de degré 2 ; alors $f_{1}(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\;,\ b$ et $c$ trois nombres réels.
 
$f_{1}$ solution de $(\mathbf{E})$ si et seulement si $\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ 2f_{1}'(x)-3f_{1}(x)=x^{2}+5.$ or $f_{1}'(x)=2ax+b$, donc
 
$\begin{array}{rcl} \forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ 2f_{1}'(x)-3f_{1}(x)=x^{2}+5&\Leftrightarrow&2(2ax+b)-3(ax^{2}+bx+c)=x^{2}+5\\ \\ &\Leftrightarrow&-3ax^{2}+(4a-3b)x+2b-3c=x^{2}+5\\ \\  &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -3a&=&1\\ 4a-3b&=&0\\ 2b-3c&=&5 \end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&-\dfrac{1}{3}\\ \\ b&=&\dfrac{4}{9}\\ \\ c&=&-\dfrac{37}{27} \end{array}\right. \end{array}$
 
D'où, $$f_{1}(x)=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{9}x-\dfrac{37}{27}$$
2) l'équation différentielle $(\mathbf{E}_{1})\ :\ 2y'=3y$ (ou encore $2y'-3y=0$) a pour solution générale $f_{2}(x)=k\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$
 
D'où, une solution générale de $(\mathbf{E})$ est de la forme $$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{9}x-\dfrac{37}{27}+k\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$$ où $k$ est une constante.  
 
Ainsi, l'ensemble des solutions de $(\mathbf{E})$ est constitué des fonctions  $\varphi$ de la forme : $$\varphi(x)=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{9}x-\dfrac{37}{27}+k\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$$ 
3) $\varphi$ vérifie $\varphi'(0)=0$
 
On a : $\varphi'(x)=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{9}+\dfrac{3k}{2}\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} \varphi'(0)=0&\Leftrightarrow&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3k}{2}=0\\ \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{3k}{2}=-\dfrac{4}{9}\\ \\ &\Leftrightarrow&k=-\dfrac{8}{27} \end{array}$
 
D'où, $\varphi(x)=\dfrac{1}{27}\left(-8\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}-9x^{2}+12x-37\right)$ 
 
Courbe représentative $(C_{\varphi})$ de $\varphi(x)$
  
 

 

IV Équations différentielles du 2nd ordre, à coefficients constants

C'est une équation de la forme $$(\mathbf{E})\ :\ ay''+by'+cy=g(x)\ ;\qquad a\neq 0\quad\text{(équation avec $2^{nd}$ membre)}$$
$$(\mathbf{E}')\ :\ ay''+by'+cy=0\ ;\qquad a\neq 0\quad\text{(équation homogène)}$$
$f$ est solution de $(\mathbf{E})$ (respectivement de $(\mathbf{E}')$) sur $\mathbf{I}$ si $f$ est deux fois dérivables sur $\mathbf{I}$ et $f$ vérifie $(\mathbf{E})$ (respectivement $f$ vérifie $(\mathbf{E}').)$

IV.1 Recherche de la solution générale de (E')

Soit $(\mathbf{E}')\ :\ ay''+by'+cy=0$ avec $a\neq 0$, nous appelons équation caractéristique associée à $(\mathbf{E}')$ l'équation $$ar^{2}+br+c=0$$

Théorème

Soit $(\mathbf{E}') :\ ay''+by'+cy=0$ et $ar^{2}+br+c=0$ équation caractéristique associée de discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$, alors :
 
$\centerdot\ \ $ Si $\Delta>0$ alors, l'équation $ar^{2}+br+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes $$r_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ , \qquad r_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Dans ce cas, $(\mathbf{E}') :\ ay''+by'+cy=0$ admet comme solution générale $y_{2}(x)$ de la forme $$y_{2}(x)=A\mathrm{e}^{r_{1}x}+B\mathrm{e}^{r_{2}x}$$
 
$\centerdot\ \ $ Si $\Delta=0$ alors, l'équation $ar^{2}+br+c=0$ admet une solution double réelle $$r_{0}=\dfrac{-b}{2a}$$
Et l'équation $(\mathbf{E}')$ admet une solution générale de la forme $$y_{2}(x)=(Ax+B)\mathrm{e}^{r_{0}x}$$
 
$\centerdot\ \ $ Si $\Delta<0$ alors, l'équation $ar^{2}+br+c=0$ admet deux solutions complexes conjuguées $$\alpha+\mathrm{i}\beta\ , \qquad \alpha-\mathrm{i}\beta$$
Ainsi, $(\mathbf{E}') :\ ay''+by'+cy=0$ admet une solution générale de la forme $$y_{2}(x)=A\mathrm{e}^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$$

Remarques

Dans tous les cas, les constantes $A$ et $B$ sont dépendantes des conditions initiales.

IV.2 Recherche d'une solution particulière

$\centerdot\ \ $ Si $g(x)$ est un polynôme de degré $n$, alors $f_{1}(x)$ est aussi un polynôme de degré
 
$\cdot\ \ n+1$   si $c=0$.
 
$\cdot\ \ n$     si $c\neq 0$
 
$\centerdot\ \ $ Si $g(x)$ est de la forme $a\cos\beta x$ / $a\sin\beta x$, $a\cos\beta x+b\sin\beta x$ alors, $f_{1}(x)$ sera de la forme $A\cos\beta x+B\sin\beta x$.

IV.3 Solution générale de (E)

Soit $f_{2}(x)$ solution générale de $(\mathbf{E}')$, si $f_{1}(x)$ donnée, est solution particulière de $(\mathbf{E})$, alors la solution générale de $(\mathbf{E})$; $y(x)$, sera de la forme $$y(x)=f_{2}(x)+f_{1}(x)$$

Exemple 

Résoudre l'équation différentielle $(\mathbf{E})\ :\ y''-4y'+3y=0$ puis, déterminer et représenter graphiquement la solution qui passe par l'origine $O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$ du repère et dont la dérivée vaut 1 en 0.
 
Soit $r^{2}-4r+3=0$ l'équation caractéristique associée à $(\mathbf{E})$. 
 
$\Delta=16-12=4>0$, donc l'équation $r^{2}-4r+3=0$ admet deux solutions réelles distinctes : $$r_{1}=\dfrac{4-2}{2}=1\qquad\text{et}\qquad r_{2}=\dfrac{4+2}{2}=3$$
Ainsi, $(\mathbf{E})$ admet comme solution générale $y_{2}(x)$ de la forme $$y_{2}(x)=A\mathrm{e}^{x}+B\mathrm{e}^{3x}$$
où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
 
$y_{2}$ passe par $O$ alors $y_{2}(0)=0\ \Rightarrow\ A+B=0$
 
$y_{2}'(0)=1\ \Rightarrow\ A+3B=1$
 
donc résolvons le système suivant : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} A+B&=&0\\ A+3B&=&1\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} A&=&-\dfrac{1}{2}\\ \\ B&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$$
 
Ainsi, $$y_{2}(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{x}\right)$$

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

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