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Équations différentielles - T S

Classe:

Terminale

I Définitions

Soient

$a_{0},\ a_{1},\ \ldots,\ a_{n}$ des constantes réelles,

$y=y(x)$ une fonction de

$x$ . On appelle équation différentielle linéaire d'ordre

$n$ à coefficients constants, une équation liant une fonction

$y$ et ses dérivées successives

$y',\ y'',\ \ldots,\ y^{(n)}.$ On a :

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$ où

$g(x)$ est une fonction et

$a_{n}\neq 0$ .

Exemple :

$2y''-3y'+4y=\sin 2x$ est une équation différentielle linéaire du

$2^{nd}$ ordre, à coefficients constants.

$\centerdot\ \$ Pour

$a_{n}\neq 0$ ,

$(\mathbf{E})$ :

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$ est une équation différentielle linéaire d'ordre

$n$ , à coefficients constants, non homogène ou avec

$2^{nd}$ membre.

$\centerdot\ \ (\mathbf{E}')$ :

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0$ est une équation différentielle linéaire d'ordre

$n$ , à coefficients constants, sans

$2^{nd}$ membre ou homogène.

$\centerdot\ \ (\mathbf{E}')$ est associée à

$(\mathbf{E})$ .

$\centerdot\ \$ Les solutions d'une équation différentielle sont des fonctions.

$\centerdot\ \ f$ est une solution d'une équation différentielle d'ordre

$n$ , à coefficients constants sur

$\mathbf{I}$ , si

$f$ est

$n$ fois dérivables sur

$\mathbf{I}$ et

$f$ vérifie l'équation.

$\centerdot\ \$ L'ensemble des solutions d'une équation différentielle est appelé solution générale de l'équation différentielle.

$\centerdot\ \$ Toute fonction vérifiant l'équation différentielle est appelée solution particulière.

$\centerdot\ \$ Une solution qui vérifie des conditions initiales est appelée solution singulière.

II Théorèmes

Soit l'équation différentielle linéaire d'ordre

$n$ à coefficients constants avec

$2^{nd}$ membre ;

$(\mathbf{E})\ :\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$ et l'équation différentielle linéaire d'ordre

$n$ à coefficients constants sans

$2^{nd}$ membre ;

$(\mathbf{E}')\ :\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0$

$f_{1}$ est une solution particulière de

$(\mathbf{E})$ et

$f_{2}$ une solution générale de

$(\mathbf{E}')$ alors,

$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ est solution générale de

$(\mathbf{E}).$

Preuve

$f_{1}$ solution de

$(\mathbf{E})$ alors

$f_{1}$ est une fonction

$n$ fois dérivable et

$a_{n}f_{1}^{(n)}(x)+a_{n-1}f_{1}^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{2}f_{1}''(x)+a_{1}f_{1}'(x)+a_{0}f_{1}(x)=g(x)$

$f_{2}$ solution de

$(\mathbf{E}')$ alors

$f_{2}$ est une fonction

$n$ fois dérivable et

$a_{n}f_{2}^{(n)}(x)+a_{n-1}f_{2}^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{2}f_{2}''(x)+a_{1}f_{2}'(x)+a_{0}f_{2}(x)=0$

Et donc,

$f_{1}+f_{2}$ est

$n$ fois dérivable et

$\begin{array}{rcl} a_{n}(f_{1}+f_{2})^{(n)}(x)+a_{n-1}(f_{1}+f_{2})^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{2}(f_{1}+f_{2})''(x)+a_{1}(f_{1}+f_{2})'(x)+a_{0}(f_{1}+f_{2})(x)&=&g(x)\end{array}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} a_{n}(f_{1}^{(n)}(x)+f_{2}^{(n)}(x))+a_{n-1}(f_{1}^{(n-1)}(x)+f_{2}^{(n-1)}(x))+\ldots +a_{2}(f_{1}''(x)+f_{2}''(x))+a_{1}(f_{1}'(x)+f_{2}'(x))+a_{0}(f_{1}(x)+f_{2}(x))&=&g(x)\end{array}$

D'où,

$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ est solution de

$(\mathbf{E})$ .

III Équations différentielles linéaires d'ordre 1, à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants est une équation de la forme

$ay'+by=g(x)\quad\text{(avec second membre)}$

$ay'+by=0\quad\text{(sans second membre ou équation homogène)}$

III.1 Recherche de la solution générale de l'équation homogène

Soit

$\mathbf{E}')\ :\ ay'+by=0$ alors,

$\begin{array}{rcl} ay'=-by&\Rightarrow&\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{b}{a} \\ \\ &\Rightarrow&\ln|y|=-\dfrac{b}{a}x+c \\ \\ &\Rightarrow&|y|=\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x+c}=\mathrm{e}^{c}.\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x} \\ \\ &\Rightarrow&y=\pm\mathrm{e}^{c}.\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x} \end{array}$

Soit

$(\mathbf{E}')\ :\ ay'+by=0$ alors

$ay'=-by$

Donc,

$f_{2}$ est de la forme

$f_{2}(x)=y_{2}(x)=K\mathrm{e}^{-\frac{b}{a}x}$ où

$K$ est une constante.

III.2 Recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec 2nd membre

$\centerdot\ \$ Une fonction

$f_{1}$ est solution de

$(\mathbf{E})$ si elle est dérivable et si elle vérifie

$(\mathbf{E})$ .

$af_{1}'(x)+bf_{1}(x)=g(x)$

$\centerdot\ \$ Si

$g(x)$ est un polynôme de degré

$n$ , alors

$f_{1}$ est aussi un polynôme de degré

$n.$

$\centerdot\ \$ Si

$g(x)$ est de la forme

$a\cos\beta x$ /

$a\sin\beta x$ ,

$a\cos\beta x+b\sin\beta x$ , alors

$f_{1}$ sera de la forme

$A\cos\beta x+B\sin\beta x.$

III.3 Solution générale de (E)

Une solution générale

$y(x)$ de

$(\mathbf{E})$ est donnée par

$y(x)=f_{2}(x)+f_{1}(x)$ où

$f_{2}(x)$ est une solution générale de

$(\mathbf{E}')$ et

$f_{1}(x)$ une solution particulière de

$(\mathbf{E})$ .

Exercice d'application

Soit

$\varphi$ la fonction dérivable sur

$\mathbb{R}$ solution de l'équation différentielle

$(\mathbf{E})\ :\ 2y'-3y=x^{2}+5$ dont la dérivée s'annule en 0.

1) Montrer qu'il existe un polynôme de degré 2, notée

$f_{1}$ , solution de

$(\mathbf{E}).$

2) Résoudre l'équation différentielle

$(\mathbf{E}_{1})\ :\ 2y'=3y$ et en déduire l'ensemble des solutions de

$(\mathbf{E}).$

3) Déterminer

$\varphi$ puis construire

$(C_{\varphi})$ sa courbe représentative.

Résolution

1) Soit

$f_{1}$ une fonction polynôme de degré 2 ; alors

$f_{1}(x)=ax^{2}+bx+c$ avec

$a\;,\ b$ et

$c$ trois nombres réels.

$f_{1}$ solution de

$(\mathbf{E})$ si et seulement si

$\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ 2f_{1}'(x)-3f_{1}(x)=x^{2}+5.$ or

$f_{1}'(x)=2ax+b$ , donc

$\begin{array}{rcl} \forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ 2f_{1}'(x)-3f_{1}(x)=x^{2}+5&\Leftrightarrow&2(2ax+b)-3(ax^{2}+bx+c)=x^{2}+5\\ \\ &\Leftrightarrow&-3ax^{2}+(4a-3b)x+2b-3c=x^{2}+5\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -3a&=&1\\ 4a-3b&=&0\\ 2b-3c&=&5 \end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&-\dfrac{1}{3}\\ \\ b&=&\dfrac{4}{9}\\ \\ c&=&-\dfrac{37}{27} \end{array}\right. \end{array}$

D'où,

$f_{1}(x)=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{9}x-\dfrac{37}{27}$

2) l'équation différentielle

$(\mathbf{E}_{1})\ :\ 2y'=3y$ (ou encore

$2y'-3y=0$ ) a pour solution générale

$f_{2}(x)=k\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$

D'où, une solution générale de

$(\mathbf{E})$ est de la forme

$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{9}x-\dfrac{37}{27}+k\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$ où

$k$ est une constante.

Ainsi, l'ensemble des solutions de

$(\mathbf{E})$ est constitué des fonctions

$\varphi$ de la forme :

$\varphi(x)=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{9}x-\dfrac{37}{27}+k\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$

$\varphi$ vérifie

$\varphi'(0)=0$

On a :

$\varphi'(x)=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{9}+\dfrac{3k}{2}\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} \varphi'(0)=0&\Leftrightarrow&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3k}{2}=0\\ \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{3k}{2}=-\dfrac{4}{9}\\ \\ &\Leftrightarrow&k=-\dfrac{8}{27} \end{array}$

D'où,

$\varphi(x)=\dfrac{1}{27}\left(-8\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2}x}-9x^{2}+12x-37\right)$

Courbe représentative

$(C_{\varphi})$ de

$\varphi(x)$

IV Équations différentielles du 2nd ordre, à coefficients constants

C'est une équation de la forme

$(\mathbf{E})\ :\ ay''+by'+cy=g(x)\ ;\qquad a\neq 0\quad\text{(équation avec $2^{nd}$ membre)}$

$(\mathbf{E}')\ :\ ay''+by'+cy=0\ ;\qquad a\neq 0\quad\text{(équation homogène)}$

$f$ est solution de

$(\mathbf{E})$ (respectivement de

$(\mathbf{E}')$ ) sur

$\mathbf{I}$ si

$f$ est deux fois dérivables sur

$\mathbf{I}$ et

$f$ vérifie

$(\mathbf{E})$ (respectivement

$f$ vérifie

$(\mathbf{E}').)$

IV.1 Recherche de la solution générale de (E')

Soit

$(\mathbf{E}')\ :\ ay''+by'+cy=0$ avec

$a\neq 0$ , nous appelons équation caractéristique associée à

$(\mathbf{E}')$ l'équation

$ar^{2}+br+c=0$

Théorème

Soit

$(\mathbf{E}') :\ ay''+by'+cy=0$ et

$ar^{2}+br+c=0$ équation caractéristique associée de discriminant

$\Delta=b^{2}-4ac$ , alors :

$\centerdot\ \$ Si

$\Delta>0$ alors, l'équation

$ar^{2}+br+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes

$r_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ , \qquad r_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Dans ce cas,

$(\mathbf{E}') :\ ay''+by'+cy=0$ admet comme solution générale

$y_{2}(x)$ de la forme

$y_{2}(x)=A\mathrm{e}^{r_{1}x}+B\mathrm{e}^{r_{2}x}$

$\centerdot\ \$ Si

$\Delta=0$ alors, l'équation

$ar^{2}+br+c=0$ admet une solution double réelle

$r_{0}=\dfrac{-b}{2a}$

Et l'équation

$(\mathbf{E}')$ admet une solution générale de la forme

$y_{2}(x)=(Ax+B)\mathrm{e}^{r_{0}x}$

$\centerdot\ \$ Si

$\Delta<0$ alors, l'équation

$ar^{2}+br+c=0$ admet deux solutions complexes conjuguées

$\alpha+\mathrm{i}\beta\ , \qquad \alpha-\mathrm{i}\beta$

Ainsi,

$(\mathbf{E}') :\ ay''+by'+cy=0$ admet une solution générale de la forme

$y_{2}(x)=A\mathrm{e}^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$

Remarques

Dans tous les cas, les constantes

$A$ et

$B$ sont dépendantes des conditions initiales.

IV.2 Recherche d'une solution particulière

$\centerdot\ \$ Si

$g(x)$ est un polynôme de degré

$n$ , alors

$f_{1}(x)$ est aussi un polynôme de degré

$\cdot\ \ n+1$ si

$c=0$ .

$\cdot\ \ n$ si

$c\neq 0$

$\centerdot\ \$ Si

$g(x)$ est de la forme

$a\cos\beta x$ /

$a\sin\beta x$ ,

$a\cos\beta x+b\sin\beta x$ alors,

$f_{1}(x)$ sera de la forme

$A\cos\beta x+B\sin\beta x$ .

IV.3 Solution générale de (E)

Soit

$f_{2}(x)$ solution générale de

$(\mathbf{E}')$ , si

$f_{1}(x)$ donnée, est solution particulière de

$(\mathbf{E})$ , alors la solution générale de

$(\mathbf{E})$ ;

$y(x)$ , sera de la forme

$y(x)=f_{2}(x)+f_{1}(x)$

Exemple

Résoudre l'équation différentielle

$(\mathbf{E})\ :\ y''-4y'+3y=0$ puis, déterminer et représenter graphiquement la solution qui passe par l'origine

$O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$ du repère et dont la dérivée vaut 1 en 0.

Soit

$r^{2}-4r+3=0$ l'équation caractéristique associée à

$(\mathbf{E})$ .

$\Delta=16-12=4>0$ , donc l'équation

$r^{2}-4r+3=0$ admet deux solutions réelles distinctes :

$r_{1}=\dfrac{4-2}{2}=1\qquad\text{et}\qquad r_{2}=\dfrac{4+2}{2}=3$

Ainsi,

$(\mathbf{E})$ admet comme solution générale

$y_{2}(x)$ de la forme

$y_{2}(x)=A\mathrm{e}^{x}+B\mathrm{e}^{3x}$

où

$A$ et

$B$ sont des constantes réelles.

$y_{2}$ passe par

$O$ alors

$y_{2}(0)=0\ \Rightarrow\ A+B=0$

$y_{2}'(0)=1\ \Rightarrow\ A+3B=1$

donc résolvons le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} A+B&=&0\\ A+3B&=&1\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} A&=&-\dfrac{1}{2}\\ \\ B&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Ainsi,

$y_{2}(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{x}\right)$

Auteur:

Diny Faye & Seyni Ndiaye

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Formulaire de recherche

I Définitions

Exemple :

II Théorèmes

Preuve

III Équations différentielles linéaires d'ordre 1, à coefficients constants

III.1 Recherche de la solution générale de l'équation homogène

III.2 Recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec 2nd membre

III.3 Solution générale de (E)

Exercice d'application

Résolution

IV Équations différentielles du 2nd ordre, à coefficients constants

IV.1 Recherche de la solution générale de (E')

Théorème

Remarques

IV.2 Recherche d'une solution particulière

IV.3 Solution générale de (E)

Exemple

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