ADS - Circulation aérienne - Epreuve de Mathématiques - 2019

 

En utilisant le changement de variable $t=\ln|x|$, trouver la solution générale de :

$$x^{2}y''+xy'+y=x^{2}+1$$

avec $y$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$

 

En utilisant la décomposition en éléments simples, trouver une primitive de :

$$\int\dfrac{x}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}\mathrm{d}x$$

1) Montrer que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{\sum_{k=1}^{n}\tfrac{1}{k}}{\ln(n)}=1$$

2) Donner la nature et calculer la somme de la série de terme général

$$u_{n}=\dfrac{n!}{(1+\pi)(2+\pi)\ldots(n+\pi)}$$

On considère $b(\vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ la base orthonormée directe de $\mathbb{R}^{3}.$

 

Soit $A$ la matrice définie par :

$$A=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 10&-2&6\sqrt{2}\\6&2&-6\sqrt{2}\\0&0&16\end{pmatrix}$$

1) Montrer que $A$ est la matrice d'un endomorphisme, soit $f.$

 

2) Déterminer le polynôme caractéristique de $f$ définie par :

$$P(x)=det(A-xI)$$

3) Calculer $P(1)$ puis trouver le spectre $\sigma_{A}$ de $A.$

 

4) Les racines de $P$ notées $\alpha_{1}<\alpha_{2}<\alpha_{3}$ sont les valeurs propres de $A.$ Déterminer les vecteurs propres unitaires $\vec{v}_{1}\;,\ \vec{v}_{2}\;,\ \vec{v}_{3}$ associés respectivement à ces valeurs propres.

 

5) Donner l'expression de $C$, la matrice de passage de $b\ $ à $\ b'=(\vec{v}_{1}\;,\ \vec{v}_{2}\;,\ \vec{v}_{3}).$

 

6) Exprimer $\vec{i}\;,\ \vec{j}\ $ et $\ \vec{k}$ dans la base $b'.$ En déduire $C^{-1}.$

 

7) Déterminer la matrice de l'isomorphisme $f$ dans la base $b'.$

 

8) Déduire de 7) la matrice de $f^{-1}$ dans $b'.$

 

9) Avec ces résultats ci-dessus, calculer $A^{-1}.$

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$