Bac mathématique 2025 série : L1a-L1b-L'1-L2-LA

Pour chaque item, choisir la bonne réponse et justifier le choix fait. 

Chaque bonne réponse justifiée rapporte 

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{ITEMS}&\text{REPONSES}\\\hline1&\text{Si }f\text{ est la fonctionv }&a. \lim\limits_{x\longrightarrow\;,-\infty}f(x)=+\infty\\&\text{numérique définie par }&b.\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-\infty}f(x)=0\\&f(x)=\mathrm{e}^{x}-x\text{ alors on a :}&c.\lim\limits_{x\longrightarrow\;,+\infty}f(x)=-\infty\\\hline2&\text{Si }f\text{ est la fonction numérique }&a.f'(x)=2x\ln x\\&\text{définie dans }]0\ ;\ +\infty[\text{ par }&b. f'(x)=x\left(\ln x^{2}+1\right)\\&\text{ alors la fonction dérivée de }&c.f'(x)=2\ln x-x\\&f{ est définie dans }]0\ ;\ +\infty[\text{ par :}&\\ \hline 3&\text{Si }\left(u_{n}\right)\text{ est la suite géométrique de }&a.u_{10}=\dfrac{1}{256}\\&\text{raison }q=\dfrac{1}{2}\text{ et de premier terme }&b. u_{n}=\dfrac{4}{2^{n-1}}\\&u_{0}=4\text{ alors on a :}&c.u=\dfrac{1}{2^{n-1}}\\\hline4.&\text{Si }f\text{ et }g\text{ sont les fonctions }&a.(gof)=9\\&\text{numériques définies respectivement }&b.(gof)(x)=2\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^{2}+1\\&\text{ par }f(x)=2x^{2}+1\text{ et }g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}&c.(gof)(x)=\dfrac{2x^{2}-1}{2\left(x^{2}+1\right)}\\&g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\text{alors,}\\&\text{ pour tout réel }x\text{ on a :}&\\\hline5&.\text{ Si }g\text{ est la fonction numérique définie }&a. F(x)=3x^{2}+6x+2\\&\text{par }f(x)^{2}+3x^{2}+2x+1\text{ alors la }&b. F(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}+x^{3}+x^{2}+x+2\\&\text{primitive }F\text{ de }f\text{dans }\mathbb{R}&c.F(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+2\\&\text{telle que }F(0)=2\text{ est définie par : }&\\\hline\end{array}$

Le groupement des femmes d'un village, après une formation sur l'entreprenariat, a reçu un 
financement de la DER (Délégation à l'Entreprenariat Rapide) pour mener des activités dont les bénéfices serviront à appuyer la maternité du village en médicaments. 

Pour cela, elles ont mis en place une petite unité de fabrication de savons qui sont commercialisés au niveau de points de 
ventes installés dans tous les villages de la commune. 

Le tableau suivant donne l'évolution de leur 
chiffre d'affaire en fonction du nombre de points vente, après cinq années d'activité :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année }&2013&2014&2015&2016&2017\\ \hline \text{Nombre de }&10&20&40&70&100\\ \text{points de }&&&&&\\ \text{vente }&&&&&\\ \hline \text{Chiffre }&37.5&61.5&97.5&180&270.4\\\text{d'affaire en }&&&&&\\\text{milliers }&&&&&\\ \hline \end{array}$

Quel serait leur chiffre d'affaire en $2018$, si elles projettent de mettre en place $120$ points de vente ? Les résultats des calculs seront donnés à $10^{-2}$ près par défaut. 

                                                                  
Soit la fonction numérique $f$ qui à tout réel $x$ associe $ (x)=x\mathrm{e}^{x}-1$

On désigne par $\left(C_{f}\right)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, unité $2\,cm$

1. a.   Donner l'ensemble de définition $D_{f}$ de la fonction $f.$                                     

b. Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}f(x)$

Interpréter graphiquement le résultat.                            

2. Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}f(x)$, puis $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

Interpréter graphiquement les résultats. 
 
3. a.   Soit $f'$  la fonction dérivée de $f$ 

Calculer la dérivée $f'(c)$ de la fonction $f$, puis étudier son signe.                                                                            

b. Dresser le tableau des variations de $f$
                                                          
c. Donner une équation de la tangente $(T)$ à $\left(C_{f}\right)$ au point d'abscisse $x=0$ 

4. Construire la tangent $(T)$ et la courbe $\left(C_{f}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$                        

5. Soit la fonction F définie par $F(x)=x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}-x$
 
a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ dans $D_{f}$

b. Calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathbb{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=\ln 4$