Bac mathématique 2025 Série S1-S1A-S3 - Épreuve du 2ème groupe

L'espace $\varepsilon$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{i} ;\ \vec{j}\;,\vec{k}\right)$ d'unité $1\,cm$

On considère les points $A(2\;,0\;,0)$, $B(2\;,2\;,0)$, $C(0\;,2\;,0)$ et $D(2\;,2\;,2)$

1.a. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan. 

b. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{BD}$ est normal au plan $(ABC)$

c. Donner une équation cartésienne du plan $(ABC)$

d. Calculer l'aire $\mathfrak{A}$  du triangle $ABC$

2.  Soient $I$, $J$ et $K$ les points tels que : 

$\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Soit $V$ le volume du tétraèdre $ABCD$ et $V'$ le volume du tétraèdre $AIJK$

a. Calculer $V$
 
b. En déduire $V'$          

Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{0}=0$ et pour tout entier naturel $n\;,U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_{n}+n-1$
 
1. a. Démontrer que $\forall n\geq 3\;,U_{n}\geq 0$

b. Démontrer que  $\forall n\geq 4\;,U_{n}\geq n-2$

c. En déduire la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$

2. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $V_{n}=12U_{n}-18\,n+45.$

a. Démontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est géométrique de raison  $\dfrac{1}{3}$

b. En déduire l'expression de $V_{n}$ en fonction de $n$ puis, celle de $U_{n}$ en fonction de $n$
                   

 
Soit $f$ la fonction numérique à variable réelle définie par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
f(x)&=&\dfrac{1}{x}\int_{0}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt\\ f(0)&=&1 \end{array}\right.\quad\text{ si }x\neq 0$
 .  
On note $\left(C_{f}\right.$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$
 
2. Montrer que $f$ est paire.
 
3. Pour tout $x>0$, montrer que : 

a. $\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}&\leq&\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt\\&\leq& x
\end{array}$

b. En déduire que $f$ est continue en $0$

4. Montrer que : $\forall t\geq 1$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}<\dfrac{1}{\sqrt{t}}$, puis en déduire $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}f(x)$

5. Étudier les variations de la fonction $f$ puis établir le tableau de variations de $f$

6. Tracer la courbe $\left(C_{f}\right)$