Bac mathématique 2025 série S2-S2A-S4-S5 - Épreuve du 2ème groupe

Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations est donné ci-dessous. 

On suppose que $f$ est continue dans son domaine de définition.
 
1. Donner le domaine de définition de $f$ ainsi que les limites aux bornes.          

2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ puis donner la ou les tangentes de $f$ en $0$   

3. Donner le signe de $f'$
                                                                                        
4. Donner les équations des asymptotes.                                                              
 
5. Tracer $\left(C_{f}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

(On tracera d'abord les asymptotes et 
les tangentes).                      
 
6. Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$
                                    
7. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]1\ ;\ 4].$

Montrer que $f$ est bijective et représenter la courbe de $f^{-1}$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

 
Modou et Abdoulaye préparent un marathon de $42\,km$
  
Au premier jour Modou a couru $5\,km$ et chaque jour suivant, il court $2\,km$ de plus.
 
Abdoulaye quant à lui a couru $5\,km$ le premier jour et chaque jour suivant il court $2\,km$ de plus que le jour précédent.
 
Qui de Modou ou de Abdoulaye arrivera le premier à atteindre les $42\,km$ ? 

 
Pour tout nombre complexe $z$, on pose  $$P'z)=z^{3}-2z^{2}+3z-6$$
 
1. Calculer $P(2)$
         
2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $$P(z)=(z-2)\left(z^{2}+az+b\right)$$
        
3. En déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$

4. On désigne par $A$, $B$, $C$ les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=2$, $z_{B}=\sqrt{3}i\;,z_{c}=-\sqrt{3}i$

a. Placer $A$, $B$ et $C$ dans un repère orthogonal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
    
b. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$
        
c. En déduire la nature du triangle $ABC$