Bac Mathématique 2025 Séries S2-S2A-S4-S5: Épreuve du 1ere groupe
EXERCICE 1 : (5,5 points)
A. Soit les nombres complexes $z_1 = 2$, $z_2 = 1 + i$, $z_3 = 500$ ml. Rappeler les propriétés algébriques suivantes : $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|$, $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$, $|z_1 \times z_2|$ et $\arg(z_1 \times z_2)$. (01 point)
B. On considère le polynôme $P$ défini par :
$$P(z) = z^4 - (4 - 5i)z^3 - (5 + 12i)z - 8 + i \text{ où } z \in \mathbb{C}.$$
1) Montrer que $P$ admet une racine imaginaire pure $\beta$ que l'on déterminera. (0,5 point)
2) Déterminer une racine réelle $\alpha$ de $P$ telle que $(z - \alpha)(z - \beta)$ divise $P(z)$. (0,5 point)
b) Factoriser $g(z)$ puis en déduire une factorisation de $P(z)$. (0,5 point)
3) Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$ d'unité 1 cm, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
$$z_A = -1 + 2i, \quad z_B = -3 + 2i \text{ et } z_C = \frac{z_B - z_A}{z_B - z_A}.$$
a) Donner la nature du point $C$ dans le repère. (0,75 point)
b) Déterminer le module et un argument de $z_C$. En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.
4) Soit $S$ la similitude plane directe qui laisse invariant $A$ et transforme $B$ en $C$.
a) Donner l'écriture complexe et l'écriture analytique de $S$. (0,5 point)
b) Déterminer les éléments caractéristiques de $S$. (0,75 point)
c) Soit le cercle $(\mathcal{C})$ d'équation $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 4$.
Déterminer l'équation de $(\mathcal{C}')$, image de $(\mathcal{C})$ par $S$. (0,5 point)
d) Tracer $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ dans le repère. (0,5 point)
EXERCICE 2 : (06 points)
Une usine fabrique des téléphones portables que l'on ne peut pas discerner en les touchant. Les téléphones produits seront vendus 45 000 FCFA l'unité. Le chef de l'usine remarque que 2 téléphones sur 100 sont défectueux. Il décide de mettre tous les téléphones fabriqués depuis 10 jours dans une caisse et de vérifier leur état. Il procède comme suit : il prend un téléphone de la caisse, vérifie son état dans la caisse. Il recommence ainsi de suite le processus.
1) Aide le chef de l'usine à déterminer le nombre $n$ de téléphones à produire pour que la chance d'obtenir au moins un téléphone défectueux soit supérieure ou égale à 0,999. (03 points)
2) Sachant que la production de ces $n$ téléphones coûte 11 970 000 FCFA à l'usine, en tirera-t-elle profit après la vente de tous les téléphones non défectueux ? (03 points)
$\textit{Les résultats seront donnés à $10^{-4}$ par excès.}$
PROBLÈME (08,5 points)
PARTIE A
Soit $g$ la fonction définie sur $[1 ; +\infty[$ par : $g(x) = 1 - x \ln x$.
1) Montrer que $\forall x \in [1 ; +\infty[$, $g'(x) < 0$. (0,25 point)
2) Dresser le tableau de variations de $g$. (0,5 point)
3) Montrer que $g$ est une bijection de $[1 ; +\infty[$ sur un intervalle à préciser. (0,5 point)
4) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1 ; +\infty[$. (0,25 point)
5) Montrer que $1,7 < \alpha < 1,8$. (0,25 point)
6) Préciser le signe de $g$ sur $[1 ; +\infty[$. (0,25 point)
PARTIE B
Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x) = \begin{cases}
(x-x+1)\ln(x+1) & \text{si } x < 1 \\
e^{-x+1}\ln x & \text{si } x \geq 1
\end{cases}$$
$(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité 2cm.
1) a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. (0,5 point)
b) Rappeler les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$, $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln x}{x+1}$, $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$, $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x}$. (01 point)
c) Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus. (0,75 point)
d) Étudier la branche infinie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ de $f$ en $-\infty$. (0,25 point)
2) a) Montrer que $f$ est continue en 1. (0,5 point)
b) Étudier la dérivabilité de $f$ en 1 et interpréter géométriquement, si possible, les résultats obtenus. (0,5 point)
3) a) Calculer $f'(x)$ sur $]-\infty ; 1[$ et étudier son signe. (0,5 point)
b) Montrer que : $\forall x \in ]1 ; +\infty[$, $f'(x) = \frac{g(x)e^{-x+1}}{x}$. (0,25 point)
En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]1 ; +\infty[$. (0,25 point)
4) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 point)
5) Tracer la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de $f$ dans le plan muni du repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$. (0,75 point)
PARTIE C
1) Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[\alpha ; +\infty[$.
a) Montrer que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$. (0,25 point)
b) Préciser l'ensemble de définition de $h^{-1}$ et tracer sa courbe dans le plan muni du repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$. (0,25 point)
2) Calculer en $cm^2$ l'aire $A(f)$ de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = -1$, l'axe des ordonnées et la courbe $(\mathcal{C}_f)$ de $f$. (0,25 point)
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