Bac Mathématiques TS2 2024 - Epreuves 1er groupe

Exercice 1

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_{A}=-3i$, $z_{B}=-2$ et $z_{C}=1+2i.$

a. Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}$

b. En déduire la nature du triangle $ABC$

c. Déterminer l'affixe $z_{D}$ du point $D$ tel que le quadrilatère $BADC$ soit un carré.

d. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

On considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z=x+iy$ et $z'+iy'$ où $x\;,y\;,x'$ et $y'$ sont des réels.

Soit $S$ l'application du plan dans le plan d'expression analytique : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x-y+2\\ y'&=&x+y-1
\end{array}\right.$ 

a. Montrer que l'écriture complexe de $S$ est : $z'=(1+i)z+2-i.$

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $S$

c. Déterminer l'image par $S$ de la droite $(D)$ d'équation $x+y+1=0$

d. Déterminer l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $|'1+i)z+2-i|=2$

Exercice 2

Une entreprise fabrique des articles dans deux unités de production notées $U_{1}$ et $U_{2}$

L'unité $U_{1}$ assure $60\%$ de la production.

On a constaté que :

$\bullet\ 3\%$ des articles provenant de l'unité $U_{1}$ présentent un défaut de fabrication.

$\bullet\ 8\%$ des articles provenant de l'unité $U_{2}$ présentent un défaut de fabrication.

L'entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente.

Ce contrôle détecte et élimine $82\%$ des articles défectueux, mais il élimine également à tort $4\%$ des articles non défectueux.

Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

L'entreprise souhaite que moins de $1\%$ des articles vendus soient défectueux.

A l'aide des informations ci-dessus et des outils mathématiques au programme :

1. Démontrer que $5\%$ des articles produits présentent un défaut de fabrication.

2. En prenant au hasard un article fabriqué, montrer que la chance que cet article soit mis en vente après contrôle est de $0.921$,

3. Vérifier si ce contrôle permet à l'entreprise de réaliser son souhait.

Problème 

Partie A

1. Pour tout $x<0$, on pose : $u(x)=x+1-\mathrm{e}^{-x}$

Étudier le signe de $1-\mathrm{e}^{-x}$ pour $x<0$

En déduire que pour tout $x<0\;,u(x)<0.$

2. Pour tout $x>0$, on pose : $v(x)=x-1-\ln x.$

a. Dresser le tableau de variation de $v.$

b. En déduire le signe de $v(x)$ pour $x>0.$

Partie B

Soient $f$ la fonction définie par $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\mathrm{e}^{x}-x-1&\text{ si }&x\leq 0\\ x^{2}-1-2x\ln x&\text{ si }&x>0
\end{array}\right.$ et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ se courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité $1\,cm$

1.a. Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$

b. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ 

a. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $-\infty$

Préciser la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à $(D)$ sur $]-\infty\;,0[$

b. Étudier la nature de la branche infinie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$

2.a. Étudier la continuité de $f$ en $0$

b. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0.$

Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3.a. Montrer que pour tout $x<0\;,f'(x)=u(x)\mathrm{e}^{x}$

en déduire le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty\;,0[$

b. Montrer que pour tout $x>0\;,f'(x)=2v(x)$

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0\;,+\infty[$

c. Dresser le tableau de variation de $f.$

4. Tracer $(D)$ et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ dans le plan muni du repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

5.a. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]0\;,+\infty[$

Montrer que $g$ admet une bijection réciproque $g^{-1}$ dont en précisera l'ensemble de définition et le sens de variations.

b. Tracer la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{g^{-1}}\right)$ de $g^{-1}$ dans le plan muni du repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

6. Soit $\lambda$ un réel strictement négatif.

a. Exprimer l'aire $A(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ de la partie du plan délimitée par les droites d'équations $x=\lambda$, $x=0$, $y=-x-1$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

b. En déduire $\lim\limits_{\lambda\longrightarrow\, -\infty}A(\lambda)$