Bac Math 1er groupe S1 S3 2007
Exercice 1 (03.5 points)
Soient α et β deux nombres complexes quelconques.
On pose j=e2iπ3 et pour tout complexe z :
1) Montrer que f(1)+f(j)+f(j2)=3 (On notera que 1+j+j2=0 et j3=1
2) a) En déduire que |f(1)|+|f(j)|+|f(j2)|≥3
b) En utilisant a), montrer que l'un au moins des nombres réels |f(1)|; |f(j)| et |f(j2)| est supérieur ou égal à 1.
3) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, →u , →v). ABC est un triangle équilatéral direct de centre de gravité O et tel que l'affixe de A soit un réel r strictement positif fixé.
I et J sont deux points quelconques du plan d'affixes respectives a et b.
Dans cette question on prend α=−a+br et β=abr2
a) Montrer que les affixes respectives de B et C sont rj et rj2.
b) Montrer que BO⋅BI⋅BJ=r3|f(j)|. Calculer de la même manière CO⋅CI⋅CJ et AO⋅AI⋅AJ
c) Montrer que le triangle ABC a au moins un sommet S vérifiant :
SO⋅SI⋅SJ≥r3.
Exercice 2 (04 points)
Le plan (P) étant orienté ; on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que (→BA, →BC) ait pour mesure π2
On note O l'intersection des bissectrices intérieures de ABC.
Soit s1 la similitude plane directe de centre A qui transforme B en O et s2 la similitude plane directe de centre C qui transforme O en B. A tout point M du plan distinct de A et de B ; on associe le point N=s1(M) et le point P=s−12(M)
1) a) Déterminer une mesure de l'angle (→AM; →AN)
b) On désigne par s′ la similitude plane directe de centre A qui transforme B en M.
Montrer que s′∘s1=s1∘s′ ; en déduire l'image de O par s′. Déterminer une mesure de l'angle (→MA, →MN)
c) Proposer une construction géométrique de N, lorsque le point M est donné.
2) a) Quelle est la nature de r=s1∘s2 ?
préciser ses éléments géométriques caractéristiques.
b) Déterminer r(P) et en déduire une construction géométrique de P à partir de N.
c) Lorsque M=O, montrer que le point N appartient à la demi-droite [AC) et le point P à la demi-droite [CA)
3) Faire une figure comportant les points A, B, C, O, P et N avec M=O.
Exercice 3 (3.5 points)
On considère dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, →u , →v), les trois points A, B et C de coordonnées respectives (1, 0), (0, 1) et (1, 1), puis à tout réel t∈[0, 1] on associe le point M(t) barycentre du système {(B, (1−t)2), (A, 2t(1−t)), (C, t2)}
On note x(t) et y(t) les coordonnées de M(t) et (Γ) l'ensemble des points M(t) lorsque t décrit [0, 1].
1) a) Exprimer en fonction de t les coordonnées x(t) et y(t) de M(t).
b) Dresser le tableau de variations des fonctions x et y et tracer la courbe (Γ) ainsi que ses tangentes aux points B, C et M(12)
2) Montrer que les tangentes à (Γ) en B et C se coupent en A.
3) Trouver une relation entre x(t) et y(t) indépendante de t. On calculera y en fonction de x et on posera y=f(x).
La fonction f est-elle dérivable à gauche au point 1 ?
Problème (9 points)
Partie A
Soit f une fonction définie sur [1, +∞[ ayant une dérivée continue et croissante. Pour tout p∈N∗
on pose : up=∑pn=1f′(n)
1) Démontrer la relation suivante :
a) En appliquant le théorème des accroissements finis à f dans un intervalle bien choisi.
b) En utilisant la valeur moyenne de f′ sur [n; n+1] [On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue g sur un intervalle [a; b] est : 1b−a∫bag(x)dx]
2) En utilisant la relation (01), de la question 1) démontrer que
3) Dans cette question on prend f(x)=1x2
a) Vérifier que la suite (up) est monotone.
b) En utilisant la relation (02), de la question 2) montrer que la suite (up) est bornée.
c) En déduire que la suite (vp) de terme général vp=∑pn=11n3 est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle [12, 32]
4) Dans cette question on prend f(x)=−lnx
a) En utilisant la relation (02), montrer que up≤−1p−lnp
b) Montrer que limp→+∞p∑n=11n=+∞
Partie B
1) Calculer pour tout n∈N∗, ∫(n+1)πnπ|sint|dt
a) En effectuant le changement de variable u=t−nπ et en remarquant que la fonction u↦|sinu| est périodique de période π
b) En utilisant le résultat admis suivant :
2) Pour tout réel a>0, on considère la fonction ha définie sur I=[0; +∞[ par :
a) Montrer que les fonctions ha sont continues sur I.
b) Montrer que :
c) En déduire que :
(03)
3) On veut utiliser les résultats précédents pour calculer lima→+∞∫π0h1(t)dt
a) En utilisant la relation (03) comparer
b) Déduire de la question 4)b) partie A
c) Calculer limx→+∞∫x0h1(t)dt [On pourra introduire l'entier p=E(xπ); où E désigne la fonction partie entière]
4) Montrer que
En déduire lima→+∞∫π0ha(t)dt
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