Bac Math 1er groupe S1 S3 2007

 

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres complexes quelconques.

 

On pose $\mathrm{j}=\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}$ et pour tout complexe $z$ :

$$f(z)=z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z$$

 

1) Montrer que $f(1)+f(\mathrm{j})+f(\mathrm{j}^{2})=3$ (On notera que $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=0$ et $\mathrm{j}^{3}=1$

 

2) a) En déduire que $|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})| \geq 3$

 

b) En utilisant a), montrer que l'un au moins des nombres réels $|f(1)|\;;\ |f(\mathrm{j})|$ et $|f(\mathrm{j}^{2})|$ est supérieur ou égal à 1.

 

3) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\ ,\ \vec{v})$. $ABC$ est un triangle équilatéral direct de centre de gravité $O$ et tel que l'affixe de $A$ soit un réel $r$ strictement positif fixé.

 

$I$ et $J$ sont deux points quelconques du plan d'affixes respectives $a$ et $b$.

 

Dans cette question on prend $\alpha=-\dfrac{a+b}{r}$ et $\beta=\dfrac{ab}{r^{2}}$

 

a) Montrer que les affixes respectives de $B$ et $C$ sont $r\mathrm{j}$ et $r\mathrm{j}^{2}$.

 

b) Montrer que $BO\cdot BI\cdot BJ=r^{3}|f(\mathrm{j})|$. Calculer de la même manière $CO\cdot CI\cdot CJ$ et $AO\cdot AI\cdot AJ$

 

c) Montrer que le triangle $ABC$ a au moins un sommet $S$ vérifiant :

 

$SO\cdot SI\cdot SJ\geq r^{3}$.

 

Le plan $(P)$ étant orienté ; on considère un triangle rectangle isocèle $ABC$ tel que $(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC})$ ait pour mesure $\dfrac{\pi}{2}$

 

On note $O$ l'intersection des bissectrices intérieures de $ABC$.

 

Soit $s_{1}$ la similitude plane directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $O$ et $s_{2}$ la similitude plane directe de centre $C$ qui transforme $O$ en $B$. A tout point $M$ du plan distinct de $A$ et de $B$ ; on associe le point $N=s_{1}(M)$ et le point $P=s_{2}^{-1}(M)$

 

1) a) Déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{AM}\;;\ \overrightarrow{AN})$

 

b) On désigne par $s'$ la similitude plane directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $M$.

 

Montrer que $s'\circ s_{1}=s_{1}\circ s'$ ; en déduire l'image de $O$ par $s'$. Déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MN})$

 

c) Proposer une construction géométrique de $N$, lorsque le point $M$ est donné.

 

2) a) Quelle est la nature de $r=s_{1}\circ s_{2}$ ?

 

préciser ses éléments géométriques caractéristiques.

 

b) Déterminer $r(P)$ et en déduire une construction géométrique de $P$ à partir de $N.$

 

c) Lorsque $M=O$, montrer que le point $N$ appartient à la demi-droite $[AC)$ et le point $P$ à la demi-droite $[CA)$

 

3) Faire une figure comportant les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ O\;,\ P$ et $N$ avec $M=O.$

 

On considère dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\ ,\ \vec{v})$, les trois points $A\;,\ B$ et $C$ de coordonnées respectives $(1\;,\ 0)\;,\ (0\;,\ 1)$ et $(1\;,\ 1)$, puis à tout réel $t\in[0\;,\ 1]$ on associe le point $M(t)$ barycentre du système $\{(B\;,\ (1-t)^{2})\;,\ (A\;,\ 2t(1-t))\;,\ (C\;,\ t^{2})\}$

 

On note $x(t)$ et $y(t)$ les coordonnées de $M(t)$ et $(\Gamma)$ l'ensemble des points $M(t)$ lorsque $t$ décrit $[0\;,\ 1]$.

 

1) a) Exprimer en fonction de $t$ les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de $M(t)$.

 

b) Dresser le tableau de variations des fonctions $x$ et $y$ et tracer la courbe $(\Gamma)$ ainsi que ses tangentes aux points $B\;,\ C$ et $M\left(\dfrac{1}{2}\right)$

 

2) Montrer que les tangentes à $(\Gamma)$ en $B$ et $C$ se coupent en $A.$

 

3) Trouver une relation entre $x(t)$ et $y(t)$ indépendante de $t.$ On calculera $y$ en fonction de $x$ et on posera $y=f(x).$

 

La fonction $f$ est-elle dérivable à gauche au point 1 ?

Partie A 

 

Soit $f$ une fonction définie sur $[1\;,\ +\infty[$ ayant une dérivée continue et croissante. Pour tout $p\in\mathbb{N}^{\ast}$

 

on pose : $u_{p}=\sum_{n=1}^{p}f'(n)$

 

1) Démontrer la relation suivante :

 

$$(01)\qquad \forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ f'(n)\leq f(n+1)-f(n)\leq f'(n+1)$$

 

a) En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ dans un intervalle bien choisi.

 

b) En utilisant la valeur moyenne de $f'$ sur $[n\;;\ n+1]$ [On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue $g$ sur un intervalle $[a\;;\ b]$ est : $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x]$

 

2) En utilisant la relation (01), de la question 1) démontrer que

 

$$(02)\qquad \forall\;p\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{p}-f'(p)\leq f(p)-f(1)\leq u_{p}-f'(1)$$

 

3) Dans cette question on prend $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}$

 

a) Vérifier que la suite $(u_{p})$ est monotone.

 

b) En utilisant la relation (02), de la question 2) montrer que la suite $(u_{p})$ est bornée.

 

c) En déduire que la suite $(v_{p})$ de terme général $v_{p}=\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n^{3}}$ est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{3}{2}\right]$

 

4) Dans cette question on prend $f(x)=-\ln\;x$

 

a) En utilisant la relation (02), montrer que $$u_{p}\leq-\dfrac{1}{p}-\ln\;p$$

 

b) Montrer que $$\lim_{p\rightarrow +\infty}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}=+\infty$$

 

Partie B 

 

1) Calculer pour tout $$n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t$$

 

a) En effectuant le changement de variable $u=t-n\pi$ et en remarquant que la fonction $u\mapsto|\sin u|$ est périodique de période $\pi$

 

b) En utilisant le résultat admis suivant :

$$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ \forall\;t\in\;[n\pi\;,\ (n+1)\pi]\;,\ |\sin t|=(-1)^{n}\sin t$$

 

2) Pour tout réel $a>0$, on considère la fonction $h_{a}$ définie sur $I=[0\;;\ +\infty[$ par :

$$h_{a}(t)=\left|\dfrac{\sin at}{t}\right|\;,\ \text{si }\;t\in\;]0\;;\ +\infty[\;,\text{ et }\;h_{a}(0)=a$$

 

a) Montrer que les fonctions $h_{a}$ sont continues sur $I.$

 

b) Montrer que :

  $$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{1}{(n+1)\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\dfrac{1}{n\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t$$  

 

$$\text{et}\qquad \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$

 

c) En déduire que :

$$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{2}{(n+1)\pi}\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\dfrac{2}{n\pi}$$

(03)

$$\text{et}\qquad\dfrac{2}{\pi}\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$

 

3) On veut utiliser les résultats précédents pour calculer $$\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$

 

a) En utilisant la relation (03) comparer

$$\dfrac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}\quad\text{et}\quad\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$

 

b) Déduire de la question 4)b) partie A

$$\lim_{p\rightarrow +\infty}\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$

 

c) Calculer $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$ [On pourra introduire l'entier $p=E\left(\dfrac{x}{\pi}\right)$; où $E$ désigne la fonction partie entière]

 

4) Montrer que

$$\forall\;a\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\ :\ \int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$$

 

En déduire $$\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t$$

 

Correction Bac Maths S1 S3 1er groupe 2007