Bac Math 1er groupe S1 S3 2008

Exercice 1 (04 points)

Une variable aléatoire X prend les  valeurs 1, 1 et 2 avec les probabilités respectives ea, eb, ec, où a, b, c sont en progression arithmétique.
 
On suppose que l'espérance mathématique E(X) de X est égale à 1
 
1) Calculer a, b , c et la variance V(X) de X(1pt)
 
2) Soient A, B , C trois points d'abscisses respectives 1, 1 et 2 d'une droite graduée (Δ)
 
a) Calculer l'abscisse du point G barycentre de {(A, 1); (B, 2); (C, 4)}(1pt)
 
b) On pose : φ(M)=17(MA2+2MB2+4MC2), où M est un point de (Δ)
 
Montrer que φ(M)=V(X)(1pt)
 
c) Déterminer l'ensemble (Γ) des points M de (Δ) tels que φ(M)=3(1pt)
 

Exercice 2 (4 points)

Soit f la fonction définie sur [1, 8[ par : f(x)=1xlnx+1x
 
En utilisant la fonction f, on se propose de déterminer la limite de la suite de terme général Sn=2nk=n1k
 
1) Soit k un entier non nul. Établir les relations suivantes :
a) 1k+1k+1k1xdx1k+1
 
b) k+1k1xdx=1kf(k)
 
2) a)Déterminer deux réels a et b tels que 1x(x+1)=ax+1x+1(0.25pt)
 
b) Soit Un=1n(n+1)+1(n+1)(n+2)++12n(2n+1)=2nk=n1k(k+1)
 
c) Calculer Un en fonction de n et déterminer limn+Un(0.5+0.25=0.75pt)
 
c) Déduire des résultats de la question (1) que : 02nk=nf(k)Un
 
Déterminer alors limn+2nk=nf(k)(0.5+0.5=1pt)
 
d) Montrer que 2nk=nf(k)=Snln2n+1n.En déduire limn+Sn(0.5+0.5=1pt)
 
 

Exercice 3 (4 points)

Le plan est orienté. PQR est un triangle équilatérale de sens direct du plan.I et J sont les milieux respectifs de [QR] et [RP]. Q1 est le symétrique de Q par rapport à J
 
1) Soit t la translation transformant J en Q et r la rotation de centre P transformant Q en R
 
On pose f=tr
 
a) Faire une figure
 
Définir et construire les points P et Q images respectives par f des points P et Q(1pt)
 
b) Déterminer la nature du triangle JIR et préciser l'image par f du point R(0.25+0.25=0.5pt)
 
c) Donner la nature de f et ses éléments géométriques caractéristiques.En déduire la nature du triangle IPP(0.25+0.25+0.5=1pt)
 
2) Soit s la similitude directe telle que s(J)=P et s(R)=I
 
a) Déterminer l'angle et le rapport de s
 
Montrer que s(I)=P(0.5pt)
 
b) Soit Ω le centre de s
 
Montrer que les points Ω, I , R et P d'une part et les points  Ω, P , J et Q1 d'autre part sont cocycliques
 
En déduire la position de Ω puis construire ce point(0.25+0.25+0.5=1pt)
 

Problème (08 points)

1) Soit l'équation différentielle :(Em) : my; où m est un réel
 
a) Déterminer suivant les valeurs de m l'ensemble des fonctions 2 fois dérivable sur \mathbb{R} solution de (E_{m})\quad(1\;pt)
 
b) Déterminer la solution de (E_{1}) dont la courbe représentative passe par le point A de cordonnées (0\;,\ 1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y=-x\quad(0.5\;pt)
 
2) Soit f la fonction définie sur \left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{3\pi}{2}\right] par f(t)=\mathrm{e}^{-t}\cos t.
 
Établir les variations de f et construire  sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
 
(Unité graphique : 2\;cm sur l'axe des abscisses et 10\;cm sur l'axe des ordonnées)
 
3) Soit g le prolongement à \mathbb{R} de f
 
a) Comparer g(t) et g(t+2\pi). Donner alors le sens de variation de g\quad(0.5\;pt)
 
b) On pose u(t)=\mathrm{e}^{-t} et v(t)=-\mathrm{e}^{-t}. On note (C_{u}) et (C_{v}) leurs courbes représentatives  respectives et (G) celle de g dans le même repère.
 
Quels sont les points communs à (G) et (C_{u}) d'une part, à (G) et (C_{v}) d'autre part ?
\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)
 
c) Montrer qu'en chacun de ces points communs les deux courbes ont même tangente.\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)
 
d) Démontrer que g admet une limite en +\infty (On fait remarquer que : -1=\cos t=1)\quad(0.25\;pt)
 
4) Pour tout réel k on pose : a_{k}=\int_{-\dfrac{\pi}{2}+k\pi}^{\dfrac{\pi}{2}+k\pi}g(t)\mathrm{d}t
 
a) Calculer a_{k} (On pourra faire deux fois une intégration par parties)\quad(0.5\;pt)
 
b) Pour tout réel n on pose s_{n}=\sum_{k=0}^{n}|ak|
 
Montrer que la suite (s_{n}) admet une limite
 
Interpréter géométriquement ce résultat\quad(0.5+0.25=0.75\;pt)
 
5) Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé.
 
On considère la courbe paramétrée. (\Lambda) définie par le système d'équations :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \mathrm{e}^{-t}\cos t \\ y(t) &=& \mathrm{e}^{-t}\sin t \end{array}\right.\;;\quad\text{pour }\;t\in\;\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{3\pi}{2}\right]
 
a) Établir les variations des fonctions x et y et dresser le tableau des variations conjointes\quad(0.75\;pt)
 
b) Soit M_{t} le point (\Lambda) de paramètre t et \vec{V}_{t} le vecteur dérivé lui correspondant.
 
Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{OM_{t}} et montrer que l'angle (\overrightarrow{OM_{t}}\;,\ \vec{V}_{t}) est constant\quad(0.5+0.5=1\;pt)
 
c) Représenter graphiquement (\Lambda). On précisera les tangentes aux points de paramètres -\dfrac{\pi}{2} et 0 \quad(0.25+0.25+0.25=0.75\;pt)
 

Correction Bac Math 1^{er} groupe S1 S3 2008

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