Bac Math 1er groupe S1 S3 2008

Une variable aléatoire $X$ prend les  valeurs $1\;,\ -1$ et 2 avec les probabilités respectives $\mathrm{e}^{a} \;,\ \mathrm{e}^{b}\;,\ \mathrm{e}^{c}\;,\ \text{où }\;a\;,\ b\;,\ c$ sont en progression arithmétique.

 

On suppose que l'espérance mathématique $E(X)$ de $X$ est égale à 1

 

1) Calculer $a\;,\ b\ ,\ c$ et la variance $V(X)$ de $X\quad(1\;pt)$

 

2) Soient $A\;,\ B\ ,\ C$ trois points d'abscisses respectives $1\;,\ -1$ et 2 d'une droite graduée $(\Delta)$

 

a) Calculer l'abscisse du point $G$ barycentre de $\{(A\;,\ 1)\;;\ (B\;,\ 2)\;;\ (C\;,\ 4)\}\quad(1\;pt)$

 

b) On pose : $\varphi(M)=\dfrac{1}{7}\left(MA^{2}+2MB^{2}+4MC^{2}\right)$, où $M$ est un point de $(\Delta)$

 

Montrer que $\varphi(M)=V(X)\quad(1\;pt)$

 

c) Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ de $(\Delta)$ tels que $\varphi(M)=3\quad(1\;pt)$

 

Soit $f$ la fonction définie sur $[1\;,\ 8[$ par : $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x+1}{x}$

 

En utilisant la fonction $f$, on se propose de déterminer la limite de la suite de terme général $S_{n}=\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k}$

 

1) Soit $k$ un entier non nul. Établir les relations suivantes :

a) $$\dfrac{1}{k+1}\leq \int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x\leq\dfrac{1}{k+1}$$

 

b) $$\int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{k}-f(k)$$

 

2) a)Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x+1}\quad(0.25\;pt)$

 

b) Soit $U_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots+\dfrac{1}{2n(2n+1)}=\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k(k+1)}$

 

c) Calculer $U_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}U_{n}\quad(0.5+0.25=0.75\;pt)$

 

c) Déduire des résultats de la question (1) que : $0\leq \sum_{k=n}^{2n}f(k)\leq U_{n}$

 

Déterminer alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=n}^{2n}f(k)\quad(0.5+0.5=1\;pt)$

 

d) Montrer que $\sum_{k=n}^{2n}f(k)=S_{n}-\ln\dfrac{2n+1}{n}$.En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}\quad(0.5+0.5=1\;pt)$

 

 

Le plan est orienté. $PQR$ est un triangle équilatérale de sens direct du plan.$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[QR]$ et $[RP]$. $Q_{1}$ est le symétrique de $Q$ par rapport à $J$. 

 

1) Soit $t$ la translation transformant $J$ en $Q$ et $r$ la rotation de centre $P$ transformant $Q$ en $R$

 

On pose $f=t\circ r$

 

a) Faire une figure

 

Définir et construire les points $P'$ et $Q'$ images respectives par $f$ des points $P$ et $Q\quad(1\;pt)$

 

b) Déterminer la nature du triangle $JIR$ et préciser l'image par $f$ du point $R\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$

 

c) Donner la nature de $f$ et ses éléments géométriques caractéristiques.En déduire la nature du triangle $IPP'\quad(0.25+0.25+0.5=1\;pt)$

 

2) Soit $s$ la similitude directe telle que $s(J)=P$ et $s(R)=I$

 

a) Déterminer l'angle et le rapport de $s$

 

Montrer que $s(I)=P'\quad(0.5\;pt)$

 

b) Soit $\Omega$ le centre de $s$

 

Montrer que les points $\Omega\;,\ I\ ,\ R$ et $P$ d'une part et les points  $\Omega\;,\ P\ ,\ J$ et $Q_{1}$ d'autre part sont cocycliques

 

En déduire la position de $\Omega$ puis construire ce point$\quad(0.25+0.25+0.5=1\;pt)$

 

1) Soit l'équation différentielle :$(E_{m})\ :\ my''+2y'+2y=0$; où $m$ est un réel

 

a) Déterminer suivant les valeurs de $m$ l'ensemble des fonctions 2 fois dérivable sur $\mathbb{R}$ solution de $(E_{m})\quad(1\;pt)$

 

b) Déterminer la solution de $(E_{1})$ dont la courbe représentative passe par le point $A$ de cordonnées $(0\;,\ 1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y=-x\quad(0.5\;pt)$

 

2) Soit $f$ la fonction définie sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{3\pi}{2}\right]$ par $f(t)=\mathrm{e}^{-t}\cos t.$

 

Établir les variations de $f$ et construire  sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

 

(Unité graphique : $2\;cm$ sur l'axe des abscisses et $10\;cm$ sur l'axe des ordonnées)

 

3) Soit $g$ le prolongement à $\mathbb{R}$ de $f$

 

a) Comparer $g(t)$ et $g(t+2\pi)$. Donner alors le sens de variation de $g\quad(0.5\;pt)$

 

b) On pose $u(t)=\mathrm{e}^{-t}$ et $v(t)=-\mathrm{e}^{-t}$. On note $(C_{u})$ et $(C_{v})$ leurs courbes représentatives  respectives et $(G)$ celle de $g$ dans le même repère.

 

Quels sont les points communs à $(G)$ et $(C_{u})$ d'une part, à $(G)$ et $(C_{v})$ d'autre part ?

$\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$

 

c) Montrer qu'en chacun de ces points communs les deux courbes ont même tangente.$\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$

 

d) Démontrer que $g$ admet une limite en $+\infty$ (On fait remarquer que : $-1=\cos t=1)\quad(0.25\;pt)$

 

4) Pour tout réel $k$ on pose : $$a_{k}=\int_{-\dfrac{\pi}{2}+k\pi}^{\dfrac{\pi}{2}+k\pi}g(t)\mathrm{d}t$$

 

a) Calculer $a_{k}$ (On pourra faire deux fois une intégration par parties)$\quad(0.5\;pt)$

 

b) Pour tout réel $n$ on pose $s_{n}=\sum_{k=0}^{n}|ak|$

 

Montrer que la suite $(s_{n})$ admet une limite

 

Interpréter géométriquement ce résultat$\quad(0.5+0.25=0.75\;pt)$

 

5) Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé.

 

On considère la courbe paramétrée. $(\Lambda)$ définie par le système d'équations :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \mathrm{e}^{-t}\cos t \\ y(t) &=& \mathrm{e}^{-t}\sin t \end{array}\right.\;;\quad\text{pour }\;t\in\;\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{3\pi}{2}\right]$$

 

a) Établir les variations des fonctions $x$ et $y$ et dresser le tableau des variations conjointes$\quad(0.75\;pt)$

 

b) Soit $M_{t}$ le point $(\Lambda)$ de paramètre $t$ et $\vec{V}_{t}$ le vecteur dérivé lui correspondant.

 

Calculer la norme du vecteur $\overrightarrow{OM_{t}}$ et montrer que l'angle $(\overrightarrow{OM_{t}}\;,\ \vec{V}_{t})$ est constant$\quad(0.5+0.5=1\;pt)$

 

c) Représenter graphiquement $(\Lambda)$. On précisera les tangentes aux points de paramètres $-\dfrac{\pi}{2}$ et 0 $\quad(0.25+0.25+0.25=0.75\;pt)$