Bac Math 1er groupe S1 S3 2011
Classe:
Terminale
Exercice 1 (4 pts)
On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par :
1) Calculer u1, u2, u3 et u4.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?(2×0.25pts)
2) Montrer que pour tout entier naturel n, un+2≡un[8]
En déduire que pour tout entier naturel n, u2n≡3[8] et u2n+1≡5[8](0.25+0.5+0.5pts)
3) Pour tout entier naturel n on pose : vn=un−2
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
En déduire que pour tout entier naturel n, 2un=50×3n+4(2×0.25pt)
4) Montrer que pour tout entier naturel n,
Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.(0.25+0.75pt)
5) Montrer que deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux.(0.75pt)
Exercice 2 (4 pts)
L'espace orienté E est rapporté à un repère orthonormé direct (O, →i →j , →k)
Soit f l'application de E dans E qui à tout point M de coordonnées (x, y, z) associe le point M′ de coordonnées (x′, y′, z′) tel que :
1) a) Montrer que f est une isométrie. ( c'est à dire que f conserve la distance.) (0.5pt)
b) Montrer que l'ensemble des points invariants par f est la droite (Δ) passant par le point A de coordonnées (0, 0, −1) et de vecteur directeur →u=→i+→j+→k(0.5pt)
2) Soit P le plan perpendiculaire à (Δ) en A.
a) Montrer que le point I de coordonnées (−1, 0, 0) appartient à P(0.5pt)
b) Prouver que I′=f(I) appartient à P.(0.5pt)
3) Déterminer la nature de f et ses éléments géométriques caractéristiques.(0.5pt)
4) Déterminer l'ensemble des points M de ε d'images M′ tels que le milieu J de [MM′] appartient :
a) au plan Q d'équation cartésienne : 2x+y−z=O(0.75pt)
b) à la droite (D) dont un système d'équations cartésiennes est : x=y=z(0.75pt)
Problème (12 pts)
Partie A
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle I=[−1, 1] et admettant sur I une dérivée troisième f‴ continue. Soit a un point de I, a≠0.
1) a) Dire pourquoi f‴ est bornée ( c'est à dire il existe deux réels m et M tels que pour tout
x∈I, m≤f‴(x)≤M ou il existe un réel K>0 tel que pour tout x∈I, |f‴(x)|≤K)
En déduire lima→01a2∫a0(a−x)2f‴(x)dx(0.25+0.5pt)
b) Soit g une fonction numérique définie sur I et admettant sur I une dérivée troisième g‴ continue.
Quelle est la dérivée de f″g′−f′g″ ?
En déduire que
2) On prend g(x)=16(a−x)3
a) Après avoir calculé g′(x), g″(x) et g‴(x) pour x∈I, montrer en utilisant la relation (01) que f(a)=f(0)+f′(0)a+12f″(0)a2+12∫a0(a−x)2f‴(x)dx(0.5pt)
b) Application
En choisissant pour f la fonction x↦ex, calculer lima→0ea−a−1a2(0.5pt)
3) Dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, →i , →j) on considère la courbe C de système d'équations paramétriques :
a) Montrer que les fonctions x et y sont continues au point 0(0.25+0.25pt)
b) Vérifier qu'elles sont dérivables en 0. Quelle est la tangente TB à C au point B de coordonnées (1, 1)?(3×(0.25pt)
Partie B
Pour tout entier naturel non nul n on considère la fonction numérique fn définie sur [0, +∞[
par :
Cn est sa courbe représentative dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, →i , →j) (unité graphique 2cm).
1) a) Justifier la dérivabilité de fn sur ]0, +∞[ et calculer f′n(x) pour x>0.
La fonction fn est-elle dérivable au point 0 ?
(On pourra utiliser 2)b) de la partie A)(3×0.25pt)
b) Calculer limx→+∞fn(x)puislimx→+∞fn(x)x
et dresser le tableau de variations de fn.(3×0.25pt)
c) Construire dans le repère, la courbe C1, sa demi-tangente au point d'abscisse 0 et sa tangente au point d'abscisse
[ln(e+1)]2(3×0.25pt)
2) a) Montrer que l'équation fn(x)=0 admet deux solutions αn et βn telles que
b) Soit b un réel positif ou nul. Montrer que ∫b0e√xdx=2(√b−1)e√b
Pour cela, on pourra utiliser la formule d'intégration par parties :
en prenant u(x)=√x(0.5pt)
c) Pour tout entier naturel n on pose : In=∫αn0fn(x)dx
Vérifier que In=2+2(e+1n)√αn(√αn−13αn−1)(0.25pt)
3) Pour tout x∈R∗+, on pose : φ(x)=exx
a) Démontrer que les restrictions h1 et h2 de φ respectivement à chacun des intervalles
V1=]0, ] sont des bijections de V1 et V2 respectivement sur des intervalles à déterminer.(0.5pt)
On pose h=h−12∘h1 et on désigne par Ch la courbe de h dans le repère.
On ne cherchera pas l'expression de h(x) en fonction x.
b) Vérifier que pour tout entier n≥1, e+1n=h1(√αn); en déduire que la suite (αn)n≥1 est convergente et calculer sa limite. En déduire limn→+∞In(3×0.25pt)
c) Déterminer de même la limite de la suite (βn)n≥1(0.25pt)
4) Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn le point du plan de coordonnées (√αn, √βn)
a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le point Mn appartient à Ch (c'est à dire h(√αn)=√βn)(0.25pt)
b) Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition.
Montrer que la fonction h est décroissante.(2×0.25pt)
c) Démontrer que h est dérivable dans ]0, 1[(0.25pt)
En remarquant que
pour tout x appartenant à V1, établir que ∀x∈]0, 1[, h′(x)=x−1x×h(x)h(x)−1(0.25pt)
5) a) Soit M(x, y) un point de Ch On pose t=ln(yx)
En utilisant la relation (02), montrer que :
En déduire que M est le point de C de paramètre t.(0.5+0.25pt)
b) Réciproquement, vérifier que tout point de C appartient à Ch(0.5pt)
c) Donner une équation de TA, tangente à Ch au point A d'abscisse 0.4 (On prendra 2 comme valeur approchée de h(0.4))
Représenter la courbe Ch ainsi que les tangentes TA et TB(0.25+0.5pt)
Pays:
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