Bac Math 1er groupe S1 S3 2011

Classe: 
Terminale

Exercice 1 (4 pts)

On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par :
 
u0=27nN, un+1=3un4
 
1) Calculer u1, u2, u3 et u4.
 
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?(2×0.25pts)
 
2) Montrer que pour tout entier naturel n, un+2un[8]
 
En déduire que pour tout entier naturel n, u2n3[8] et u2n+15[8](0.25+0.5+0.5pts)
 
3) Pour tout entier naturel n on pose : vn=un2
 
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
 
En déduire que pour tout entier naturel n, 2un=50×3n+4(2×0.25pt)
 
4) Montrer que pour tout entier naturel n,
 
Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.(0.25+0.75pt)
 
5) Montrer que deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux.(0.75pt)

Exercice 2 (4 pts)

L'espace orienté E est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i j , k)
 
Soit f l'application de E dans E qui à tout point M de coordonnées (x, y, z) associe le point M de coordonnées (x, y, z) tel que :
{x=yy=z+1z=x1
 
1) a) Montrer que f est une isométrie. ( c'est à dire que f conserve la distance.) (0.5pt)
 
b) Montrer que l'ensemble des points invariants par f est la droite (Δ) passant par le point A de coordonnées (0, 0, 1) et de vecteur directeur u=i+j+k(0.5pt)
 
2) Soit P le plan perpendiculaire à (Δ) en A.
 
a) Montrer que le point I de coordonnées (1, 0, 0) appartient à P(0.5pt)
 
b) Prouver que I=f(I) appartient à P.(0.5pt)
 
3) Déterminer la nature de f et ses éléments géométriques caractéristiques.(0.5pt)
 
4) Déterminer l'ensemble des points M de ε d'images M tels que le milieu J de [MM] appartient :
 
a) au plan Q d'équation cartésienne : 2x+yz=O(0.75pt)
 
b) à la droite (D) dont un système d'équations cartésiennes est : x=y=z(0.75pt)

Problème (12 pts)

Partie A
 
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle I=[1, 1] et admettant sur I une dérivée troisième f continue. Soit a un point de I, a0.
 
1) a) Dire pourquoi f est bornée ( c'est à dire il existe deux réels m et M tels que pour tout
xI, mf(x)M ou il existe un réel K>0 tel que pour tout xI, |f(x)|K)
En déduire lim
 
b) Soit g une fonction numérique définie sur I et admettant sur I une dérivée troisième g''' continue.
 
Quelle est la dérivée de f''g'-f'g'' ?
 
En déduire que 
(01)\qquad\int_{0}^{a}f'(x)g'''(x)\mathrm{d}x=\left[(f'g''-f''g')(x)\right]_{0}^{a}+\int_{0}^{a}f'''(x)g'(x)\mathrm{d}x\quad(0.25+0.5\;pt)
 
2) On prend g(x)=\dfrac{1}{6}(a-x)^{3}
 
a) Après avoir calculé g'(x)\;,\ g''(x) et g'''(x) pour x\in I, montrer en utilisant la relation (01) que f(a)=f(0)+f'(0)a+\dfrac{1}{2}f''(0)a^{2}+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{a}(a-x)^{2}f'''(x)\mathrm{d}x\quad(0.5\;pt)
 
b) Application
 
En choisissant pour f la fonction x\mapsto\mathrm{e}^{x}, calculer \lim_{a\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{a}-a-1}{a^{2}}\quad(0.5\;pt)
 
3) Dans le plan \mathcal{P} muni d'un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}) on considère la courbe \mathcal{C} de système d'équations paramétriques :
 
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}-1} \\ \\ y(t) &=& \dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}-1}\mathrm{e}^{t} \end{array}\right.\qquad\text{si}\;t>0\;\text{ et }\;x(0)=y(0)=1
 
a) Montrer que les fonctions x et y sont continues au point 0\quad(0.25+0.25\;pt)
 
b) Vérifier qu'elles sont dérivables en 0. Quelle est la tangente T_{B} à \mathcal{C} au point B de coordonnées (1\;,\ 1) ?\quad(3\times(0.25\;pt)
 
Partie B
 
Pour tout entier naturel non nul n on considère la fonction numérique f_{n} définie sur [0\;,\ +\infty[
par :
f_{n}(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-\left(\mathrm{e}+\dfrac{1}{n}\right)\sqrt{x} 
\mathcal{C}_{n} est sa courbe représentative dans le plan \mathcal{P} muni d'un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}) (unité graphique 2\;cm).
 
1) a) Justifier la dérivabilité de f_{n} sur ]0\;,\ +\infty[ et calculer f'_{n}(x) pour x>0.
 
La fonction f_{n} est-elle dérivable au point 0 ?
 
(On pourra utiliser 2)b) de la partie A)\quad(3\times 0.25\;pt)
 
b) Calculer \lim_{x\rightarrow +\infty}f_{n}(x)\quad\text{puis}\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f_{n}(x)}{x}
 
et dresser le tableau de variations de f_{n}.\quad(3\times 0.25\;pt)
 
c) Construire dans le repère, la courbe \mathcal{C}_{1}, sa demi-tangente au point d'abscisse 0 et sa tangente au point d'abscisse
 
\left[\ln(\mathrm{e}+1)\right]^{2}\quad(3\times 0.25\;pt)
 
2) a) Montrer que l'équation f_{n}(x)=0 admet deux solutions \alpha_{n} et \beta_{n} telles que
0<\alpha_{n}<1<\beta_{n}\quad(2\times 0.25\;pt)
 
b) Soit b un réel positif ou nul. Montrer que \int_{0}^{b}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2(\sqrt{b}-1)\mathrm{e}^{\sqrt{b}}
 
Pour cela, on pourra utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm{d}x
 
en prenant u(x)=\sqrt{x}\quad(0.5\;pt)
 
c) Pour tout entier naturel n on pose :  I_{n}=\int_{0}^{\alpha_{n}}f_{n}(x)\mathrm{d}x
 
Vérifier que I_{n}=2+2\left(\mathrm{e}+\dfrac{1}{n}\right)\sqrt{\alpha_{n}}\left(\sqrt{\alpha_{n}}-\dfrac{1}{3}\alpha_{n}-1\right)\quad(0.25\;pt)
 
3) Pour tout x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}, on pose : \varphi(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}
 
a) Démontrer que les restrictions h_{1} et h_{2} de \varphi respectivement à chacun des intervalles
 
V_{1}=]0\;,\ ] sont des bijections de V_{1} et V_{2} respectivement sur des intervalles à déterminer.\quad(0.5\;pt)
 
On pose h=h_{2}^{-1}\circ h_{1} et on désigne par C_{h} la courbe de h dans le repère.
 
On ne cherchera pas l'expression de h(x) en fonction x.
 
b) Vérifier que pour tout entier n\geq 1\;,\ \mathrm{e}+\dfrac{1}{n}=h_{1}(\sqrt{\alpha_{n}}); en déduire que la suite (\alpha_{n})_{n\geq 1} est convergente et calculer sa limite. En déduire \lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}\quad(3\times0.25\;pt)
 
c) Déterminer de même la limite de la suite (\beta_{n})_{n\geq 1}\quad(0.25\;pt)
 
4) Pour tout entier naturel non nul n, on note M_{n} le point du plan de coordonnées (\sqrt{\alpha_{n}}\;,\ \sqrt{\beta_{n}})
 
a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le point M_{n} appartient à C_{h} (c'est à dire h(\sqrt{\alpha_{n}})=\sqrt{\beta_{n}})\quad(0.25\;pt)
 
b) Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition.
 
Montrer que la fonction h est décroissante.\quad(2\times 0.25\;pt)
 
c) Démontrer que h est dérivable dans ]0\;,\ 1[\quad(0.25\;pt)
 
En remarquant que
(02)\qquad \varphi(x)=\varphi(h(x)),
 
pour tout x appartenant à V_{1}, établir que \forall x\in\;]0\;,\ 1[\;,\ h'(x)=\dfrac{x-1}{x}\times\dfrac{h(x)}{h(x)-1}\quad(0.25\;pt)
 
5) a) Soit M(x\;,\ y) un point de C_{h} On pose t=\ln\left(\dfrac{y}{x}\right)
 
En utilisant la relation (02), montrer que :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{y}{x} &=& \mathrm{e}^{t} \\ \\ y-x &=& t \end{array}\right.
 
En déduire que M est le point de \mathcal{C} de paramètre t.\quad(0.5+0.25\;pt)
 
b) Réciproquement, vérifier que tout point de \mathcal{C} appartient à C_{h}\quad(0.5\;pt)
 
c) Donner une équation de T_{A}, tangente à C_{h} au point A d'abscisse 0.4 (On prendra 2 comme valeur approchée de h(0.4))
 
Représenter la courbe C_{h} ainsi que les tangentes T_{A} et T_{B}\quad(0.25+0.5\;pt)
 
Pays: 

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