Bac Math 1er groupe S1 S3 2011

Classe: 
Terminale

Exercice 1 (4 pts)

On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par :
 
u0=27nN, un+1=3un4
 
1) Calculer u1, u2, u3 et u4.
 
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?(2×0.25pts)
 
2) Montrer que pour tout entier naturel n, un+2un[8]
 
En déduire que pour tout entier naturel n, u2n3[8] et u2n+15[8](0.25+0.5+0.5pts)
 
3) Pour tout entier naturel n on pose : vn=un2
 
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
 
En déduire que pour tout entier naturel n, 2un=50×3n+4(2×0.25pt)
 
4) Montrer que pour tout entier naturel n,
 
Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.(0.25+0.75pt)
 
5) Montrer que deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux.(0.75pt)

Exercice 2 (4 pts)

L'espace orienté E est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i j , k)
 
Soit f l'application de E dans E qui à tout point M de coordonnées (x, y, z) associe le point M de coordonnées (x, y, z) tel que :
{x=yy=z+1z=x1
 
1) a) Montrer que f est une isométrie. ( c'est à dire que f conserve la distance.) (0.5pt)
 
b) Montrer que l'ensemble des points invariants par f est la droite (Δ) passant par le point A de coordonnées (0, 0, 1) et de vecteur directeur u=i+j+k(0.5pt)
 
2) Soit P le plan perpendiculaire à (Δ) en A.
 
a) Montrer que le point I de coordonnées (1, 0, 0) appartient à P(0.5pt)
 
b) Prouver que I=f(I) appartient à P.(0.5pt)
 
3) Déterminer la nature de f et ses éléments géométriques caractéristiques.(0.5pt)
 
4) Déterminer l'ensemble des points M de ε d'images M tels que le milieu J de [MM] appartient :
 
a) au plan Q d'équation cartésienne : 2x+yz=O(0.75pt)
 
b) à la droite (D) dont un système d'équations cartésiennes est : x=y=z(0.75pt)

Problème (12 pts)

Partie A
 
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle I=[1, 1] et admettant sur I une dérivée troisième f continue. Soit a un point de I, a0.
 
1) a) Dire pourquoi f est bornée ( c'est à dire il existe deux réels m et M tels que pour tout
xI, mf(x)M ou il existe un réel K>0 tel que pour tout xI, |f(x)|K)
En déduire lima01a2a0(ax)2f(x)dx(0.25+0.5pt)
 
b) Soit g une fonction numérique définie sur I et admettant sur I une dérivée troisième g continue.
 
Quelle est la dérivée de fgfg ?
 
En déduire que 
(01)a0f(x)g(x)dx=[(fgfg)(x)]a0+a0f(x)g(x)dx(0.25+0.5pt)
 
2) On prend g(x)=16(ax)3
 
a) Après avoir calculé g(x), g(x) et g(x) pour xI, montrer en utilisant la relation (01) que f(a)=f(0)+f(0)a+12f(0)a2+12a0(ax)2f(x)dx(0.5pt)
 
b) Application
 
En choisissant pour f la fonction xex, calculer lima0eaa1a2(0.5pt)
 
3) Dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, i , j) on considère la courbe C de système d'équations paramétriques :
 
{x(t)=tet1y(t)=tet1etsit>0 et x(0)=y(0)=1
 
a) Montrer que les fonctions x et y sont continues au point 0(0.25+0.25pt)
 
b) Vérifier qu'elles sont dérivables en 0. Quelle est la tangente TB à C au point B de coordonnées (1, 1)?(3×(0.25pt)
 
Partie B
 
Pour tout entier naturel non nul n on considère la fonction numérique fn définie sur [0, +[
par :
fn(x)=ex(e+1n)x 
Cn est sa courbe représentative dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, i , j) (unité graphique 2cm).
 
1) a) Justifier la dérivabilité de fn sur ]0, +[ et calculer fn(x) pour x>0.
 
La fonction fn est-elle dérivable au point 0 ?
 
(On pourra utiliser 2)b) de la partie A)(3×0.25pt)
 
b) Calculer limx+fn(x)puislimx+fn(x)x
 
et dresser le tableau de variations de fn.(3×0.25pt)
 
c) Construire dans le repère, la courbe C1, sa demi-tangente au point d'abscisse 0 et sa tangente au point d'abscisse
 
[ln(e+1)]2(3×0.25pt)
 
2) a) Montrer que l'équation fn(x)=0 admet deux solutions αn et βn telles que
0<αn<1<βn(2×0.25pt)
 
b) Soit b un réel positif ou nul. Montrer que b0exdx=2(b1)eb
 
Pour cela, on pourra utiliser la formule d'intégration par parties :
bau(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]babau(x)v(x)dx
 
en prenant u(x)=x(0.5pt)
 
c) Pour tout entier naturel n on pose :  In=αn0fn(x)dx
 
Vérifier que In=2+2(e+1n)αn(αn13αn1)(0.25pt)
 
3) Pour tout xR+, on pose : φ(x)=exx
 
a) Démontrer que les restrictions h1 et h2 de φ respectivement à chacun des intervalles
 
V1=]0, ] sont des bijections de V1 et V2 respectivement sur des intervalles à déterminer.(0.5pt)
 
On pose h=h12h1 et on désigne par Ch la courbe de h dans le repère.
 
On ne cherchera pas l'expression de h(x) en fonction x.
 
b) Vérifier que pour tout entier n1, e+1n=h1(αn); en déduire que la suite (αn)n1 est convergente et calculer sa limite. En déduire limn+In(3×0.25pt)
 
c) Déterminer de même la limite de la suite (βn)n1(0.25pt)
 
4) Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn le point du plan de coordonnées (αn, βn)
 
a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le point Mn appartient à Ch (c'est à dire h(αn)=βn)(0.25pt)
 
b) Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition.
 
Montrer que la fonction h est décroissante.(2×0.25pt)
 
c) Démontrer que h est dérivable dans ]0, 1[(0.25pt)
 
En remarquant que
(02)φ(x)=φ(h(x)),
 
pour tout x appartenant à V1, établir que x]0, 1[, h(x)=x1x×h(x)h(x)1(0.25pt)
 
5) a) Soit M(x, y) un point de Ch On pose t=ln(yx)
 
En utilisant la relation (02), montrer que :
{yx=etyx=t
 
En déduire que M est le point de C de paramètre t.(0.5+0.25pt)
 
b) Réciproquement, vérifier que tout point de C appartient à Ch(0.5pt)
 
c) Donner une équation de TA, tangente à Ch au point A d'abscisse 0.4 (On prendra 2 comme valeur approchée de h(0.4))
 
Représenter la courbe Ch ainsi que les tangentes TA et TB(0.25+0.5pt)
 
Pays: 

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