Bac Math 1er groupe S1 S3 2011

On considère la suite $(u_{n})$ d'entiers naturels définie par :

 

$$\begin{array}{rcl}{u}_0& =& 27\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}& =& 3u_n-4\end{array}$$

 

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}$ et $u_{4}.$

 

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ?$\quad(2\times 0.25\;pts)$

 

2) Montrer que pour tout entier naturel $n\;,\ u_{n+2}\equiv u_{n}[8]$

 

En déduire que pour tout entier naturel $n\;,\ u_{2n}\equiv 3[8]$ et $u_{2n+1}\equiv 5[8]\quad(0.25+0.5+0.5\;pts)$

 

3) Pour tout entier naturel $n$ on pose : $v_{n}=u_{n}-2$

 

Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.

 

En déduire que pour tout entier naturel $n\;,\ 2u_{n}=50\times 3^{n}+4\quad(2\times 0.25\;pt)$

 

4) Montrer que pour tout entier naturel $n$,

 

Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n.\quad(0.25+0.75\;pt)$

 

5) Montrer que deux termes consécutifs de la suite $(u_{n})$ sont premiers entre eux.$\quad(0.75\;pt)$

L'espace orienté $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\, \ \vec{j}\ ,\ \vec{k})$

 

Soit $f$ l'application de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{E}$ qui à tout point $M$ de coordonnées $(x\;,\ y\;,\ z)$ associe le point $M'$ de coordonnées $(x'\;,\ y'\;,\ z')$ tel que :

$$\{\begin{array}{lcl}{x}^{\prime }& =& y\\ y^{\prime }& =& z+1\\ z^{\prime }& =& x-1\end{array}$$

 

1) a) Montrer que $f$ est une isométrie. ( c'est à dire que $f$ conserve la distance.) $\quad(0.5\;pt)$

 

b) Montrer que l'ensemble des points invariants par $f$ est la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ de coordonnées $(0\;,\ 0\;,\ -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\quad(0.5\;pt)$

 

2) Soit $P$ le plan perpendiculaire à $(\Delta)$ en $A.$

 

a) Montrer que le point $I$ de coordonnées $(-1\;,\ 0\;,\ 0)$ appartient à $P\quad(0.5\;pt)$

 

b) Prouver que $I'=f(I)$ appartient à $P. \quad(0.5\;pt)$

 

3) Déterminer la nature de $f$ et ses éléments géométriques caractéristiques.$\quad(0.5\;pt)$

 

4) Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\varepsilon$ d'images $M'$ tels que le milieu $J$ de $[MM']$ appartient :

 

a) au plan $Q$ d'équation cartésienne : $2x+y-z=O\quad(0.75\;pt)$

 

b) à la droite $(D)$ dont un système d'équations cartésiennes est : $x=y=z\quad( 0.75\;pt)$

Partie A

 

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $I=[-1\;,\ 1]$ et admettant sur $I$ une dérivée troisième $f'''$ continue. Soit $a$ un point de $I\;,\ a\neq 0.$

 

1) a) Dire pourquoi $f'''$ est bornée ( c'est à dire il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout

$x\in\;I\;,\ m\leq f'''(x)\leq M$ ou il existe un réel $K>0$ tel que pour tout $x\in\;I\;,\ |f'''(x)|\leq K$)

En déduire $$\underset{a\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\int }_0^a(a-x{)}^2{f}^{‴}(x)\mathrm{d}x(0.25+0.5pt)$$

 

b) Soit $g$ une fonction numérique définie sur $I$ et admettant sur $I$ une dérivée troisième $g'''$ continue.

 

Quelle est la dérivée de $f''g'-f'g''$ ?

 

En déduire que 

$$(01){\int }_0^a{f}^{\prime }(x)g^{‴}(x)\mathrm{d}x={[(f^{\prime }{g}^{″}-f^{″}{g}^{\prime })(x)]}_0^a+{\int }_0^a{f}^{‴}(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x(0.25+0.5pt)$$

 

2) On prend $g(x)=\dfrac{1}{6}(a-x)^{3}$

 

a) Après avoir calculé $g'(x)\;,\ g''(x)$ et $g'''(x)$ pour $x\in I$, montrer en utilisant la relation (01) que $$f(a)=f(0)+f^{\prime }(0)a+{\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{″}(0)a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^a(a-x{)}^2{f}^{‴}(x)\mathrm{d}x(0.5pt)$$

 

b) Application

 

En choisissant pour $f$ la fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{x}$, calculer $\lim_{a\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{a}-a-1}{a^{2}}\quad(0.5\;pt)$

 

3) Dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$ on considère la courbe $\mathcal{C}$ de système d'équations paramétriques :

 

$$\{\begin{array}{lcl}x(t)& =& {\displaystyle \frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}}\\ \\ y(t)& =& {\displaystyle \frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}}{\mathrm{e}}^t\end{array}\text{si}t>0\text{ et }x(0)=y(0)=1$$

 

a) Montrer que les fonctions $x$ et $y$ sont continues au point $0\quad(0.25+0.25\;pt)$

 

b) Vérifier qu'elles sont dérivables en 0. Quelle est la tangente $T_{B}$ à $\mathcal{C}$ au point $B$ de coordonnées $(1\;,\ 1) ?\quad(3\times(0.25\;pt)$

 

Partie B

 

Pour tout entier naturel non nul $n$ on considère la fonction numérique $f_{n}$ définie sur $[0\;,\ +\infty[$

par :

$$f_n(x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}-(\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{n}})\sqrt{x}$$ 

$\mathcal{C}_{n}$ est sa courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$ (unité graphique $2\;cm$).

 

1) a) Justifier la dérivabilité de $f_{n}$ sur $]0\;,\ +\infty[$ et calculer $f'_{n}(x)$ pour $x>0$.

 

La fonction $f_{n}$ est-elle dérivable au point 0 ?

 

(On pourra utiliser 2)b) de la partie A)$\quad(3\times 0.25\;pt)$

 

b) Calculer $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)\text{puis}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f_n(x)}{x}}$$

 

et dresser le tableau de variations de $f_{n}.\quad(3\times 0.25\;pt)$

 

c) Construire dans le repère, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, sa demi-tangente au point d'abscisse 0 et sa tangente au point d'abscisse

 

$\left[\ln(\mathrm{e}+1)\right]^{2}\quad(3\times 0.25\;pt)$

 

2) a) Montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ admet deux solutions $\alpha_{n}$ et $\beta_{n}$ telles que

$$0<{\alpha }_n<1<{\beta }_n(2\times 0.25pt)$$

 

b) Soit $b$ un réel positif ou nul. Montrer que $${\int }_0^b{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2(\sqrt{b}-1){\mathrm{e}}^{\sqrt{b}}$$

 

Pour cela, on pourra utiliser la formule d'intégration par parties :

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$$

 

en prenant $u(x)=\sqrt{x}\quad(0.5\;pt)$

 

c) Pour tout entier naturel $n$ on pose :  $$I_n={\int }_0^{{\alpha }_n}{f}_n(x)\mathrm{d}x$$

 

Vérifier que $$I_n=2+2(\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{n}})\sqrt{{\alpha }_n}(\sqrt{{\alpha }_n}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\alpha }_n-1)(0.25pt)$$

 

3) Pour tout $x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$, on pose : $\varphi(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$

 

a) Démontrer que les restrictions $h_{1}$ et $h_{2}$ de $\varphi$ respectivement à chacun des intervalles

 

$V_{1}=]0\;,\ ]$ sont des bijections de $V_{1}$ et $V_{2}$ respectivement sur des intervalles à déterminer.$\quad(0.5\;pt)$

 

On pose $h=h_{2}^{-1}\circ h_{1}$ et on désigne par $C_{h}$ la courbe de $h$ dans le repère.

 

On ne cherchera pas l'expression de $h(x)$ en fonction $x$.

 

b) Vérifier que pour tout entier $n\geq 1\;,\ \mathrm{e}+\dfrac{1}{n}=h_{1}(\sqrt{\alpha_{n}})$; en déduire que la suite $(\alpha_{n})_{n\geq 1}$ est convergente et calculer sa limite. En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}\quad(3\times0.25\;pt)$

 

c) Déterminer de même la limite de la suite $(\beta_{n})_{n\geq 1}\quad(0.25\;pt)$

 

4) Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $M_{n}$ le point du plan de coordonnées $(\sqrt{\alpha_{n}}\;,\ \sqrt{\beta_{n}})$

 

a) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, le point $M_{n}$ appartient à $C_{h}$ (c'est à dire $h(\sqrt{\alpha_{n}})=\sqrt{\beta_{n}})\quad(0.25\;pt)$

 

b) Déterminer les limites de $h$ aux bornes de son ensemble de définition.

 

Montrer que la fonction $h$ est décroissante.$\quad(2\times 0.25\;pt)$

 

c) Démontrer que $h$ est dérivable dans $]0\;,\ 1[\quad(0.25\;pt)$

 

En remarquant que

$$(02)\phi (x)=\phi (h(x)),$$

 

pour tout $x$ appartenant à $V_{1}$, établir que $$\mathrm{\forall }x\in ]0,1[,h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}\times {\displaystyle \frac{h(x)}{h(x)-1}}(0.25pt)$$

 

5) a) Soit $M(x\;,\ y)$ un point de $C_{h}$ On pose $t=\ln\left(\dfrac{y}{x}\right)$

 

En utilisant la relation (02), montrer que :

$$\{\begin{array}{lcl}{\displaystyle \frac{y}{x}}& =& {\mathrm{e}}^t\\ \\ y-x& =& t\end{array}$$

 

En déduire que $M$ est le point de $\mathcal{C}$ de paramètre $t.\quad(0.5+0.25\;pt)$

 

b) Réciproquement, vérifier que tout point de $\mathcal{C}$ appartient à $C_{h}\quad(0.5\;pt)$

 

c) Donner une équation de $T_{A}$, tangente à $C_{h}$ au point $A$ d'abscisse $0.4$ (On prendra 2 comme valeur approchée de $h(0.4))$

 

Représenter la courbe $C_{h}$ ainsi que les tangentes $T_{A}$ et $T_{B}\quad(0.25+0.5\;pt)$