Bac Math S1 S3 1er groupe 2010
Exercice 1 (4 points)
Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B. Sur la figure, on prendra 8cm comme longueur du segment [AB].
1) Étudier et construire l'ensemble E des points M du plan tels que :
MAMB=4(0.5pt+0.25pt)
2) Étudier et construire l'ensemble F des points M du plan tels que :
(→MA, →MB)=π4[2π](0.5pt+0.25pt)
3) Soit C l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 34π et D l'image de B par
l'homothétie de centre A et de rapport 34
On désigne par s la similitude directe transformant A en B et C en D.
a) Déterminer le rapport et l'angle de s.(0.5pt+0.5pt)
b) On note I le centre de la similitude s. Exprimer IB en fonction de IA et donner une mesure de l'angle (→IA, →IB).
En déduire la position du point I et le placer sur la figure.(0.25pt×4)
c) Démontrer que I appartient au cercle circonscrit au triangle ACD.(05pt)
Exercice 2 (4 points)
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
"Si p est un nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1≡1[p]."
1) a) Démontrer que 193 est un nombre premier.(0.75pt)
b) Soit a un entier naturel inférieur à 192. Montrer que a192≡1[193].(0.5pt)
2) On considère l'équation
(E) : 83x−192y=1où x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier que le couple (155, 67) est solution de (E).(0.5pt)
b) Résoudre l'équation (E).(0.75pt)
3) On note A l'ensemble des 193 entiers naturels inférieurs ou égaux à 192 et on considère les deux fonctions f et g définies de la manière suivante :
à tout entier a de A, f associe le reste de la division euclidienne de a83 par 193; à tout entier a de A, g associe le reste de la division euclidienne de a155 par 193.
a) Démontrer g(f(a))≡a83×155[193].
En déduire que pour tout a∈A on a : g(f(a))=a(0.5pt+0.5pt)
b) Déterminer f∘g(0.5pt)
Problème (12 points)
Partie A
Soit a un réel non nul, u et v deux fonctions deux fois dérivables sur R et telles que :
(01){u′=vv′=au
1) a) Montrer que u et v vérifient l'équation différentielle
(02)y″−ay=0(0.25pt+0.25pt)
b) résoudre l'équation (02) selon les valeurs de a.(0.75pt)
2) On suppose que a=1. Déterminer u et v sachant que u(0)=3 et v(0)=0.(0.75pt)
Partie B
Le plan P est muni d'un repère orthonormé (O, →i , →j) (unité graphique 2cm).
Soit (Γ) l'ensemble des points M de P dont les coordonnées (x, y) vérifient :
(03){x(t)=32(et+e−t)y(t)=32(et−e−t)t≥0
L'objet de cette partie est de calculer l'aire du domaine plan délimité par (Γ) et les droites d'équation y=0, x=3 et x=5.
1) a) Démontrer que (Γ) est une partie de la conique dont une équation est :
(04)x2−y2−9=0(0.5pt)
b) Préciser la nature de cette conique ainsi que ses éléments géométriques caractéristiques.
Construire (Γ).(0.5pt+0.5pt)
2) Soit
f:R→Rx↦x−√x2−9etg:R∗→Rx↦x2+92x
a) Étudier les variations de f.(0.75pt)
b) Montrer que la restriction de f à l'intervalle I=[3, +∞[ est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
On note φ cette restriction.(0.25pt)
c) Démontrer que pour tout x élément de J, on a : φ−1(x)=g(x).(0.5pt)
d) Tracer Cφ, courbe représentative de φ dans le repère (O, →i , →j).
Expliquer comment obtenir Cφ−1, courbe représentative de φ−1 dans ce repère, à partir de Cφ. Tracer Cφ−1.(0.25pt×3)
3) Soit β un élément de ]0, 3[ et α=g(β)
a) Calculer ∫3βg(x)dx
et en déduire que ∫α3f(x)dx=β24−94−92lnβ3(0.25pt+0.75pt)
[Indication : On pourra interpréter ces deux intégrales comme des aires]
b) En déduire l'aire du domaine plan délimité par (Γ) et les droites d'équation y=0, x=3 et x=5.(0.75pt)
Partie C
On considère la suite (un)n∈N telle que :
$$(05)\qquad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& 5 \\ u_{n+1} &=& g(u_{n})\;\text{ si }\;n\in\mathbb{N}
\end{array}\right.$$
On se propose de calculer de trois façons différentes la limite de la suite (un).
1) a) Étudier les variations de g puis montrer que :
∀n∈N, un>3 et ∀n∈N∗,g(un)−g(un−1)un−un−1>0(0.5pt+0.25pt+0.25pt)
b) Déterminer le signe de u1−u0 puis montrer que la suite (un) est monotone.$\quad(0.25\;pt
+0.25\;pt)$
c) En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.(0.25pt+0.25pt)
2) a) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction g dans un intervalle approprié, montrer que
∀n∈N, g(un)−3un−3<12
En déduire que
∀n∈N∗, un−3<12n−1
Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.(0.5pt+0.25pt+0.25pt)
b) Déterminer une valeur possible de n pour que un−3≤10−3.(0.25pt)
3) Pour tout n∈N on pose : vn=un−3un+3
a) Montrer que (lnvn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.(0.5pt)
b) Exprimer alors un en fonction de n et calculer la limite de (un).(0.5pt+0.25pt)
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