Bac Math S1 S3 1er groupe 2010

Exercice 1 (4 points)

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B. Sur la figure, on prendra 8cm comme longueur du segment [AB].
 
1) Étudier et construire l'ensemble E des points M du plan tels que :
MAMB=4(0.5pt+0.25pt)
 
2) Étudier et construire l'ensemble F des points M du plan tels que :
 (MA, MB)=π4[2π](0.5pt+0.25pt)
 
3) Soit C l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 34π et D l'image de B par
l'homothétie de centre A et de rapport 34
 
On désigne par s la similitude directe transformant A en B et C en D.
 
a) Déterminer le rapport et l'angle de s.(0.5pt+0.5pt)
 
b) On note I le centre de la similitude s. Exprimer IB en fonction de IA et donner une mesure de l'angle (IA, IB).
 
En déduire la position du point I et le placer sur la figure.(0.25pt×4)
 
c) Démontrer que I appartient au cercle circonscrit au triangle ACD.(05pt)
 

Exercice 2 (4 points)

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : 
 
"Si p est un nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap11[p]."
 
1) a) Démontrer que 193 est un nombre premier.(0.75pt)
 
b) Soit a un entier naturel inférieur à 192. Montrer que a1921[193].(0.5pt)
 
2) On considère l'équation
(E) : 83x192y=1où  x  et  y  sont des entiers relatifs.
 
a) Vérifier que le couple (155, 67) est solution de (E).(0.5pt)
 
b) Résoudre l'équation (E).(0.75pt)
 
3) On note A l'ensemble des 193 entiers naturels inférieurs ou égaux à 192 et on considère les deux fonctions f et g définies de la manière suivante :
 
à tout entier a de A, f associe le reste de la division euclidienne de a83 par 193; à tout entier a de A, g associe le reste de la division euclidienne de a155 par 193.
 
a) Démontrer g(f(a))a83×155[193].
 
En déduire que pour tout aA on a : g(f(a))=a(0.5pt+0.5pt)
 
b) Déterminer fg(0.5pt)

Problème (12 points)

Partie A
 
Soit a un réel non nul, u et v deux fonctions deux fois dérivables sur R et telles que :
 
(01){u=vv=au
 
1) a) Montrer que u et v vérifient l'équation différentielle
(02)yay=0(0.25pt+0.25pt)
 
b) résoudre l'équation (02) selon les valeurs de a.(0.75pt)
 
2) On suppose que a=1. Déterminer u et v sachant que u(0)=3 et v(0)=0.(0.75pt)
 
Partie B
 
Le plan P est muni d'un repère orthonormé (O, i , j) (unité graphique 2cm).
 
Soit (Γ) l'ensemble des points M de P dont les coordonnées (x, y) vérifient :
 
(03){x(t)=32(et+et)y(t)=32(etet)t0
 
L'objet de cette partie est de calculer l'aire du domaine plan délimité par (Γ) et les droites d'équation y=0, x=3 et x=5.
 
1) a) Démontrer que (Γ) est une partie de la conique dont une équation est :
(04)x2y29=0(0.5pt)
 
b) Préciser la nature de cette conique ainsi que ses éléments géométriques caractéristiques.
 
Construire (Γ).(0.5pt+0.5pt)
 
2) Soit
f:RRxxx29etg:RRxx2+92x
 
a) Étudier les variations de f.(0.75pt)
 
b) Montrer que la restriction de f à l'intervalle I=[3, +[ est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
 
On note φ cette restriction.(0.25pt)
 
c) Démontrer que pour tout x élément de J, on a : φ1(x)=g(x).(0.5pt)
 
d) Tracer Cφ, courbe représentative de φ dans le repère (O, i , j).
 
Expliquer comment obtenir Cφ1, courbe représentative de φ1 dans ce repère, à partir de Cφ. Tracer Cφ1.(0.25pt×3)
 
3) Soit β un élément de ]0, 3[ et α=g(β)
 
a) Calculer 3βg(x)dx
 
et en déduire que α3f(x)dx=β249492lnβ3(0.25pt+0.75pt)
 
[Indication : On pourra interpréter ces deux intégrales comme des aires]
 
b) En déduire l'aire du domaine plan délimité par (Γ) et les droites d'équation y=0, x=3 et x=5.(0.75pt)
 
Partie C
 
On considère la suite (un)nN telle que :
 
$$(05)\qquad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& 5 \\ u_{n+1} &=& g(u_{n})\;\text{ si }\;n\in\mathbb{N}
\end{array}\right.$$
 
On se propose de calculer de trois façons différentes la limite de la suite (un).
 
1) a) Étudier les variations de g puis montrer que :
nN, un>3 et nN,g(un)g(un1)unun1>0(0.5pt+0.25pt+0.25pt)
 
b) Déterminer le signe de u1u0 puis montrer que la suite (un) est monotone.$\quad(0.25\;pt
+0.25\;pt)$
 
c) En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.(0.25pt+0.25pt)
 
2) a) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction g dans un intervalle approprié, montrer que
nN, g(un)3un3<12
 
En déduire que
nN, un3<12n1
 
Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.(0.5pt+0.25pt+0.25pt)
 
b) Déterminer une valeur possible de n pour que un3103.(0.25pt)
 
3) Pour tout nN on pose : vn=un3un+3
 
a) Montrer que (lnvn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.(0.5pt)
 
b) Exprimer alors un en fonction de n et calculer la limite de (un).(0.5pt+0.25pt)

Correction Bac Math S1 S3 1er groupe 2010

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