Bac Math S1 S3 1er groupe R 2009

Exercice 1

1) Dans l'espace, on donne deux points A et B distincts.
 
a) Montrer que toute rotation R de l'espace transformant A en B a son axe (D) inclus dans le plan médiateur de [AB].(1pt)
 
b) Réciproquement, soit (D) une droite du plan médiateur de [AB].
 
Montrer qu'il existe une rotation et une seule d'axe (D) transformant A en B.
 
On pourra introduire le projeté orthogonal K de A sur (D).(1pt)
 
2) Soit OABC un tétraèdre régulier dont tous les cotés ont la même longueur c'est à dire OA=OB=OC=BC=AB=AC.
 
a) Montrer qu'il existe une rotation R1 et une seule d'axe (OC) transformant A en B.(0.5pt)
 
b) Montrer que le projeté orthogonal K de A sur (OC) est le milieu de [OC].
 
En déduire que KA=AB32(0.25+0.25=0.5pt)
 
c) Déterminer le cosinus de l'angle de la rotation R1(1pt)

Exercice 2

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
"Si p est un nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap11 est divisible par p."
 
1) Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que 4281 est divisible par 29.(0.5pt)
 
2) Soient a et n deux entiers naturels non nuls.
 
Démontrer que (a+1)n1n[a]
 
En déduire que 4n1[3](0.5+0.5=1pt)
 
3) Soient a et n deux entiers naturels non nuls.
 
Démontrer que (a1)2n(1)2n[a]
 
En déduire que 44n1[17] et 42n1[5](0.5+0.5+0.5=1.5pt)
 
4) A l'aide des questions précédentes, déterminer 4 diviseurs premiers de 4281(1pt)

Problème

Le plan euclidien (P) est muni d'un repère orthonormé R=(O, i , j)
 
On appelle fa la fonction numérique de la variable réelle x définie par :
fa(x)=x+1+a2ln|x1x+1|, où a est un réel non nul.
 
On note Ca la courbe représentative de fa dans le repère R (unité graphique 1cm).
 
Partie A : (5.5 pts)
 
1) Déterminer l'ensemble de définition Dfa de fa puis calculer les limites de fa à ses bornes.(0.25+0.5=0.75pt)
 
2) a) Prouver que toutes les courbes (Ca) passent par un point fixe I dont on déterminera les coordonnées.(0.5pt)
 
b) Démontrer que le point I est centre de symétrie de toutes les courbes (Ca).(0.5pt)
 
3) Déterminer les asymptotes de (Ca) puis étudier les positions relatives de (Ca) par rapport
à son asymptote oblique (Δ).(0.25+0.25+0.5=1pt
 
4) Vérifier que fa est dérivable dans Dfa et calculer fa(x) pour tout xDfa(0.25+0.5=0.75pt)
 
5) Soit ga le trinôme défini pour tout x réel par :
ga(x)=x2+a1
 
a) Résoudre, suivant les valeurs de a l'équation ga(x)=0(0.5pt)
 
b) Dans le cas où l'équation ga(x)=0 admet deux solutions réelles distinctes, on note x1 la solution strictement positive.
 
Déterminer en fonction de a le signe de 1x1(0.5pt)
 
c) Étudier suivant les valeurs du paramètre réel a strictement négatif, les variations de fa(0.5pt)
 
6) Tracer la courbe (C1) dans le repère R Les points d'inflexion et d'intersection avec
l'axe des abscisses ne sont pas demandés.(0.5pt)
 
Partie B : (3 pts )
 
Soit b un élément de R{1} et φb l'application du plan dans lui-mème qui, à tout point M(x, y) d'affixe z associe le point M(x, y) d'affixe z tel que :
z=12[(1b)+(1+b)i]z+12[(1+b)+(1+b)i]z+i(1+b)
 
z est le conjugué de z
 
1) a) Écrire x et y en fonction de x, y et b(0.5pt)
 
b) Démontrer que l'ensemble des points invariants par φb est la droite (Δ) d'équation
y=x+1(0.5pt)
 
c) Démontrer que si M n'est pas un point de (Δ) alors la droite (MM) est parallèle à une direction fixe(0.5.pt)
 
d) Soit M0 le point de (Δ) ayant même abscisse que M.
 
Exprimer M0M en fonction de M0M(0.5pt)
 
2) a) Démontrer que pour tout bR1 et tout aR, φb(Ca)=(Cab)(0.5pt)
 
b) En déduire une construction géométrique simple de C3 point par point à partir de C1 dans le repère R(0.5pt)
 
Partie C : (3.5 pts)
 
Soit λ un réel tel que 0<λ<1 et A(λ) l'aire du domaine délimité par (Ca), (Ca+2) et les droites d'équations x=0 et x=λ dans le repère R
 
1) en utilisant une intégration par parties, calculer A(λ) puis déterminer limλ1A(λ)(0.5+0.5=1pt)
 
2) On considère la fonction h définie pour tout élément de [0, 1[ par :
 
h(x)=ln(1+2x1x) et la suite (Sn)nNde terme général Sn=1nn1p=0h(pn)
 
a) Déterminer le sens de variation de h sur [0, 1[ puis prouver que pour tout entier naturel p
 
vérifiant : 0pn2 on a :
1n(p+1n)p+1npnh(x)dx1nh(pn)(0.5+0.5=1pt)
 
b) en déduire que :
Sn+1nh(11n)A(11n)Sn0.5+0.5=1pt)
 
et A(11n)SnA(11n)1nh(11n)(0.5+0.5=1pt)
 
c) Déduire de 1) que  limn+S(n)=ln4(0.5pt)
 
 

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