Bac Math S1 S3 1er groupe R 2009
Exercice 1
1) Dans l'espace, on donne deux points A et B distincts.
a) Montrer que toute rotation R de l'espace transformant A en B a son axe (D) inclus dans le plan médiateur de [AB].(1pt)
b) Réciproquement, soit (D) une droite du plan médiateur de [AB].
Montrer qu'il existe une rotation et une seule d'axe (D) transformant A en B.
On pourra introduire le projeté orthogonal K de A sur (D).(1pt)
2) Soit OABC un tétraèdre régulier dont tous les cotés ont la même longueur c'est à dire OA=OB=OC=BC=AB=AC.
a) Montrer qu'il existe une rotation R1 et une seule d'axe (OC) transformant A en B.(0.5pt)
b) Montrer que le projeté orthogonal K de A sur (OC) est le milieu de [OC].
En déduire que KA=AB√32(0.25+0.25=0.5pt)
c) Déterminer le cosinus de l'angle de la rotation R1(1pt)
Exercice 2
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
"Si p est un nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1−1 est divisible par p."
1) Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que 428−1 est divisible par 29.(0.5pt)
2) Soient a et n deux entiers naturels non nuls.
Démontrer que (a+1)n≡1n[a]
En déduire que 4n≡1[3](0.5+0.5=1pt)
3) Soient a et n deux entiers naturels non nuls.
Démontrer que (a−1)2n≡(−1)2n[a]
En déduire que 44n≡1[17] et 42n≡1[5](0.5+0.5+0.5=1.5pt)
4) A l'aide des questions précédentes, déterminer 4 diviseurs premiers de 428−1(1pt)
Problème
Le plan euclidien (P) est muni d'un repère orthonormé R=(O, →i , →j)
On appelle fa la fonction numérique de la variable réelle x définie par :
fa(x)=x+1+a2ln|x−1x+1|, où a est un réel non nul.
On note Ca la courbe représentative de fa dans le repère R (unité graphique 1cm).
Partie A : (5.5 pts)
1) Déterminer l'ensemble de définition Dfa de fa puis calculer les limites de fa à ses bornes.(0.25+0.5=0.75pt)
2) a) Prouver que toutes les courbes (Ca) passent par un point fixe I dont on déterminera les coordonnées.(0.5pt)
b) Démontrer que le point I est centre de symétrie de toutes les courbes (Ca).(0.5pt)
3) Déterminer les asymptotes de (Ca) puis étudier les positions relatives de (Ca) par rapport
à son asymptote oblique (Δ).(0.25+0.25+0.5=1pt
4) Vérifier que fa est dérivable dans Dfa et calculer f′a(x) pour tout x∈Dfa(0.25+0.5=0.75pt)
5) Soit ga le trinôme défini pour tout x réel par :
ga(x)=x2+a−1
a) Résoudre, suivant les valeurs de a l'équation ga(x)=0(0.5pt)
b) Dans le cas où l'équation ga(x)=0 admet deux solutions réelles distinctes, on note x1 la solution strictement positive.
Déterminer en fonction de a le signe de 1−x1(0.5pt)
c) Étudier suivant les valeurs du paramètre réel a strictement négatif, les variations de fa(0.5pt)
6) Tracer la courbe (C−1) dans le repère R Les points d'inflexion et d'intersection avec
l'axe des abscisses ne sont pas demandés.(0.5pt)
Partie B : (3 pts )
Soit b un élément de R∖{−1} et φb l'application du plan dans lui-mème qui, à tout point M(x, y) d'affixe z associe le point M′(x′, y′) d'affixe z′ tel que :
z′=12[(1−b)+(1+b)i]z+12[(1+b)+(1+b)i]z+i(1+b)
où z est le conjugué de z
1) a) Écrire x′ et y′ en fonction de x, y et b(0.5pt)
b) Démontrer que l'ensemble des points invariants par φb est la droite (Δ) d'équation
y=x+1(0.5pt)
c) Démontrer que si M n'est pas un point de (Δ) alors la droite (MM′) est parallèle à une direction fixe(0.5.pt)
d) Soit M0 le point de (Δ) ayant même abscisse que M.
Exprimer →M0M′ en fonction de →M0M(0.5pt)
2) a) Démontrer que pour tout b∈R∖−1 et tout a∈R∗, φb(Ca)=(C−ab)(0.5pt)
b) En déduire une construction géométrique simple de C−3 point par point à partir de C−1 dans le repère R(0.5pt)
Partie C : (3.5 pts)
Soit λ un réel tel que 0<λ<1 et A(λ) l'aire du domaine délimité par (Ca), (Ca+2) et les droites d'équations x=0 et x=λ dans le repère R
1) en utilisant une intégration par parties, calculer A(λ) puis déterminer limλ→1A(λ)(0.5+0.5=1pt)
2) On considère la fonction h définie pour tout élément de [0, 1[ par :
h(x)=−ln(1+2x1−x) et la suite (Sn)n∈N∗de terme général Sn=−1n∑n−1p=0h(pn)
a) Déterminer le sens de variation de h sur [0, 1[ puis prouver que pour tout entier naturel p
vérifiant : 0≤p≤n−2 on a :
1n(p+1n)≤∫p+1npnh(x)dx≤1nh(pn)(0.5+0.5=1pt)
b) en déduire que :
Sn+1nh(1−1n)≤A(1−1n)≤Sn0.5+0.5=1pt)
et A(1−1n)≤Sn≤A(1−1n)−1nh(1−1n)(0.5+0.5=1pt)
c) Déduire de 1) que limn→+∞S(n)=ln4(0.5pt)
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