Bac maths , Am. Nord 2008

5 points

 

Partie A

 

On considère deux points $A$ et $D$ de l'espace et on désigne par $I$ le milieu du segment $[AD].$

 

1. Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MA}=MI^{2}-IA^{2}.$

 

2. En déduire l'ensemble $(E)$ des points $M$ de l'espace, tels que $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MA}=0.$

 

Partie B

 

Dans l'espace rapporté au repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, les points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives : $A(3\;;\ 0\;;\ 0)\;,\ B(0\;;\ 6\;;\ 0)\;,\ C(0\;;\ 0\;;\ 4)$ et $D(-5\;;\ 0\;;\ 1).$

 

1. a. Vérifier que le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC).$

 

b. Déterminer une équation du plan $(ABC).$

   

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par $D.$

 

b. En déduire les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC).$

   

c. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC).$

   

d. Démontrer que le point $H$ appartient à l'ensemble $(E)$ défini dans la partie A.

Partie A

 

1. $$\begin{eqnarray} \overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MA}&=&(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}) \nonumber \\ &=&(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}) \nonumber \\ &=&MI^{2}-IA^{2}\quad \text{car } I \text{ est le milieu de } [AD]\nonumber \end{eqnarray}$$

 

2. $M$ appartient à $(E)$ équivalent à $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MA}=0\;,\ $ c'est-à-dire à $MI^{2}-IA^{2}\;,\ $ ou encore à $MI=IA.$ Par conséquent $(E)$ est la sphère de centre $I$ et de rayon $IA.$

 

Partie B

 

1. a. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont pour coordonnées respectives $(-3\;;\ 6\;;\ 0)$ et $(-3\;;\ 0\;;\ 4).$

$$\begin{eqnarray} \vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}&=&4\times(-3)+2\times 6+3\times 0 \nonumber \\ &=&0 \nonumber \end{eqnarray}$$

 

$$\begin{eqnarray} \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}&=&4\times(-3)+2\times 0+3\times 4 \nonumber \\ &=&0 \nonumber \end{eqnarray}$$

$\vec{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

non colinéaires du plan $(ABC).$

 

$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC).$

 

b. $M$ un point de $(ABC)$ : $$\begin{eqnarray} \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0&\Leftrightarrow&(x-3)\times 4+y\times 2+z\times 3=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&4x+2y+3z-12=0 \nonumber \end{eqnarray}$$

 

2. a. Comme $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)\;,\ $ elle a pour vecteur directeur $\vec{n}.$

 

$$\begin{eqnarray} M(x\;;\ y\;;\ z)\in\Delta&\Leftrightarrow&\overrightarrow{DM}=k\;\vec{n} \nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+5 &=& 4k\\ y-0 &=& 2k\\ z-1 &=& 3k \end{array} \right. \nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& 4k-5\\ y &=& 2k\\ z &=& 3k+1 \end{array} \right.\;,\ k\in\mathbb{R} \nonumber\end{eqnarray}$$

 

b. Soit $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC).$ 

 

$H$ est donc le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC).$ 

 

On remplace $x,\ y$ et $z$ dans l'équation de $(ABC)$ :  

$$\begin{eqnarray} 4(4k-5 )+2\times 2k+3(3k+1)-12=0&\Leftrightarrow&29k-29=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&k=1 \nonumber \end{eqnarray}$$ $H$ a pour coordonnées $(-1\;;\ 2\;;\ 4).$

 

c. $$\begin{eqnarray} d(D\;,\ (ABC))&=&\dfrac{|4x_{D}+2y_{D}+3z_{D}-12|}{\sqrt{4^{2}+2^{2}+3^{2}}} \nonumber \\ &=&\dfrac{|-20+0+3-12|}{\sqrt{29}} \nonumber \\ &=&\dfrac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29} \nonumber \end{eqnarray}$$

 

d. $\overrightarrow{HD}=(-4\;;\ -2\;;\ -3)$ et $\overrightarrow{HA}=(4\;;\ -2\;;\ -4)$ :

 

$\overrightarrow{HD}\cdot\overrightarrow{HA}=-16+4+12=0\;,\ H$ appartient à $(E).$