Bac maths, Antilles 2004

Classe: 
Terminale
 

Barycentre espace :

5 points
 
On considère le tétraèdre ABCD ; on note I le milieu du segment [AB]  et  J celui de [CD].

 

 
1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1); (B, 1); (C, −1); (D, 1)}
 
Exprimer →IG1 en fonction de →CD.
 
Placez I, J, et G1 sur la figure.
 
b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1); (B, 1); (D, 2)}.
 
Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.
 
c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.
 
2. Soit m un réel. On note Gm le barycentre du système de points pondérés {(A, 1); (B, 1);(C, m−2); (D, m)}
 
a. Précisez l'ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentre Gm existe.
 
Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l'ensemble E.
 
b. Démontrez que Gm appartient au plan (ICD).
 
c. Démontrez que le vecteur m→JGm est constant.
 
d. En déduire l'ensemble Fdes points Gm lorsque m décrit l'ensemble E.

Correction

G1 : {(A; 1); (B; 1); (C; −1); (D; 1)}
 
1. a. On a, quel que soit le point M : →MA+→MB−→MC+→MD=2→MG1
et en remplaçant M par I, on obtient :
 
→IA+→IB−→IC+→ID=2→IG1⇔→CD=2→IG1⇔→IG1=12→CD 
 
b. G2 : {(A; 1); (B; 1); (D; 2)}. On a quel que soit le point M du plan : →MA+→MB+2→MD=4→MG2
et en remplaçant M par I, on obtient :
 
→IA+→IB+2→ID=4→IG2⇔→ID=2→IG2⇔→IG2=12→ID 
 
c. D'après la question 1. a. on a →IG1=12→CD=→CJ=→JD donc IG1DJ est un parallélogramme.
 
Ses diagonales se coupent en leur milieu, or on sait que G2 est le milieu de [ID], c'est donc aussi le milieu de [JG1].
 
2. a. Le barycentre existe si et seulement si la somme des coefficients n'est pas nulle. Elle est nulle quand 1+1+m−2+m=0, c'est-à-dire quand m=0.
 
b. Gm : {(A; 1); (B; 1); (C; m−2); (D; m)}. Quel que soit M du plan, on a : →MA+→MB+(m−2)→MC+m→MD=2m→MGm
et en remplaçant M par I : →IA+→IB+(m−2)→IC+m→ID=2m→IGm ou encore (m−2)→IC+m→ID=2m→IGm c'est-à-dire IGm est une combinaison linéaire des vecteurs →IC et →ID 
,
donc le point Gm est un point du plan (ICD).
 
c. →MA+→MB+(m−2)→MC+m→MD=2m→MGm en remplaçant M par J on obtient : →JA+→JB+(m−2)→JC+m→JD=2m→JGm ou encore →JA+→JB−2→JC+m→JC+m→JD=2m→JGm
 
Or, J est le milieu de [CD] donc on obtient enfin :
 
→JA+→JB−2→JC=2m→JGm⇔m→JGm=12(→JA+→JB)−→JC⇔m→JGm=→JI−→JC⇔m→JGm=→JI+→CJ⇔m→JGm=→CI 
 
d. On a : m→JGm=→CI=→JG1 ; d'après les questions précédentes. Ceci signifie que les points Gm se trouvent sur la droite (JG1).

 

 
Pays: 
Antilles

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