Bac maths, Antilles 2005

 

6 points

 

A. Soit $[KL]$ un segment de l'espace ; on note $I$ son milieu. On appelle plan médiateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ à la droite $(KL).$

 

Démontrer que le plan médiateur de $[KL]$ est l'ensemble des points de l'espace équidistants de $K$ et $L.$

 

B. Ici l'espace est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ ;

on considère les points $A(4\;;\ 0\;;\ -3)\;,\ B(2\;;\ 2\;;\ 2)\;,\ C(3\;;\ -3\;;\ -1)\;,\ D(0\;;\ 0\;;\ -3).$

 

1. Démontrer que le plan médiateur de $[AB]$ a pour équation $$4x-4y-10z-13=0$$

 

On admet pour la suite que les plans médiateurs de $[BC]\ $ et $\ [CD]$ ont respectivement pour équations $$2x-10y-6z-7=0\quad\text{et}\quad 3x-3y+2z-5=0$$

 

2. Démontrer, en résolvant un système d'équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun $E$ dont on donnera les coordonnées.

 

3. En utilisant la partie A montrer que les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ sont sur une sphère de centre $E.$

 

Quel est le rayon de cette sphère ?

A. $M$ appartient au plan médiateur de $[KL]$ si $MK=ML$, soit

 

$\begin{array}{rcl} MK^{2}=ML^{2}&\Leftrightarrow&MK^{2}-ML^{2}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&(\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{ML})(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{ML})=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&\overrightarrow{LM}\cdot 2\overrightarrow{MI}=0\end{array}$

 

C'est le plan perpendiculaire en $I$ à la droite $(KL).$

 

B. 1. $I$ a pour coordonnées $\left(3\;;\ 1\;;\ \dfrac{1}{2}\right)$

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}=0&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix} x-3\\ y-1\\ z+\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&-2x+2y+5z+6-2+\dfrac{5}{2}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&4x-4y-10z-13=0\end{array}$

 

2.

 

$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x-4y-10z-13 &=& 0\\ 3x-3y+2z-5 &=& 0\\ 2x-10y-6z-7 &=& 0\end{array} \right.&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 12x-12y-30z-39 &=& 0\\ 12x-12y+8z-20 &=& 0\\ 2x-10y-6z-7 &=& 0 \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x-4y-10z-13 &=& 0\\ -38z-19 &=& 0\\ 2x-10y-6z &=& 0 \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x &=& y+2\\ \\ z &=& -\dfrac{1}{2}\\ \\ x-5y-2 &=& 0 \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x &=& 2\\ \\ z &=& -\dfrac{1}{2}\\ \\ y &=& 0 \end{array} \right.\end{array}$ 

 

$E$ a pour coordonnées $\left(2\;;\ 0\;;\ -\dfrac{1}{2}\right).$

 

3. Les points $A,\ B,\ C$ et $D$ sont équidistants de $E$ car situés sur les plans médiateurs, ils sont donc sur une sphère de centre $E.$

 

Le rayon de cette sphère est $$AE=\sqrt{(2-4)^{2}+(0-0)^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}+3\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$$