Bac maths, Antilles 2005

Classe: 
Terminale
 

Plan médiateur, sphère :

6 points
 
A. Soit [KL] un segment de l'espace ; on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).
 
Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L.
 
B. Ici l'espace est muni d'un repère orthonormal (O; i, j, k) ;

on considère les points A(4; 0; 3), B(2; 2; 2), C(3; 3; 1), D(0; 0; 3).

 
1. Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation 4x4y10z13=0
 
On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC]  et  [CD] ont respectivement pour équations 2x10y6z7=0et3x3y+2z5=0
 
2. Démontrer, en résolvant un système d'équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun E dont on donnera les coordonnées.
 
3. En utilisant la partie A montrer que les points A, B, C  et  D sont sur une sphère de centre E.
 
Quel est le rayon de cette sphère ?

Correction

A. M appartient au plan médiateur de [KL] si MK=ML, soit
 
MK2=ML2MK2ML2=0(MKML)(MK+ML)=0LM2MI=0
 
C'est le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).
 
B. 1. I a pour coordonnées (3; 1; 12)
 
IMAB=0(x3y1z+12)(225)=02x+2y+5z+62+52=04x4y10z13=0
 
2.
 
{4x4y10z13=03x3y+2z5=02x10y6z7=0{12x12y30z39=012x12y+8z20=02x10y6z7=0{4x4y10z13=038z19=02x10y6z=0{x=y+2z=12x5y2=0{x=2z=12y=0 
 
E a pour coordonnées (2; 0; 12).
 
3. Les points A, B, C et D sont équidistants de E car situés sur les plans médiateurs, ils sont donc sur une sphère de centre E.
 
Le rayon de cette sphère est AE=(24)2+(00)2+(12+3)2=412

 

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