Bac maths, Antilles 2005
Classe:
Terminale
Plan médiateur, sphère :
6 points
A. Soit [KL] un segment de l'espace ; on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).
Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L.
B. Ici l'espace est muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j, →k) ;
on considère les points A(4; 0; −3), B(2; 2; 2), C(3; −3; −1), D(0; 0; −3).
1. Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation 4x−4y−10z−13=0
On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC] et [CD] ont respectivement pour équations 2x−10y−6z−7=0et3x−3y+2z−5=0
2. Démontrer, en résolvant un système d'équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun E dont on donnera les coordonnées.
3. En utilisant la partie A montrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre E.
Quel est le rayon de cette sphère ?
Correction
A. M appartient au plan médiateur de [KL] si MK=ML, soit
MK2=ML2⇔MK2−ML2=0⇔(→MK−→ML)(→MK+→ML)=0⇔→LM⋅2→MI=0
C'est le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).
B. 1. I a pour coordonnées (3; 1; 12)
→IM⋅→AB=0⇔(x−3y−1z+12)⋅(−225)=0⇔−2x+2y+5z+6−2+52=0⇔4x−4y−10z−13=0
2.
{4x−4y−10z−13=03x−3y+2z−5=02x−10y−6z−7=0⇔{12x−12y−30z−39=012x−12y+8z−20=02x−10y−6z−7=0⇔{4x−4y−10z−13=0−38z−19=02x−10y−6z=0⇔{x=y+2z=−12x−5y−2=0⇔{x=2z=−12y=0
E a pour coordonnées (2; 0; −12).
3. Les points A, B, C et D sont équidistants de E car situés sur les plans médiateurs, ils sont donc sur une sphère de centre E.
Le rayon de cette sphère est AE=√(2−4)2+(0−0)2+(−12+3)2=√412
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