Bac maths, Asie

5 points

 

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $(A\;;\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AE})$. 

 

On note $I$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}\;;\ 1\;;\ 1\right).$

1. Placer le point $I$ sur la figure.

 

2. Le plan $(ACI)$ coupe la droite $(EH)$ en $J$. Démontrer que les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles.

 

3. On note $R$ le projeté orthogonal de $I$ sur la droite $(AC).$

 

a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :

 

(i)  il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AC}$

 

(ii) $\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{AC}=0$

 

b. Calculer les coordonnées du point $R$.

 

c. En déduire que la distance $IR$ s'exprime par $$IR=\dfrac{\sqrt{11}}{3}$$

 

4. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnés $(3\;;\ -3\;;\ 2)$ est normal au plan $(ACI).$ En déduire une équation cartésienne du plan $(ACI).$

 

5. Montrer que la distance du point $F$ au plan $(ACI)$ est $\dfrac{5}{\sqrt{22}}$

1. Voir figure.

2. Construction du point $J$ :

 

$-$ Dans le plan $CDHG$, la droite $(IC)$ coupe la droite $(DH)$ en un point $P$ ;

 

$-$ Dans le plan $ADHE$ la droite $(PA)$ coupe la droite $(EH)$ en $J.$

 

Le plan $(ACI)$ est donc coupé par les deux faces parallèles $(ABCD)$ et $(EFGH)$ : les intersections $(AC)$ et $(IJ)$ sont donc parallèles.

 

3. a. $R\in(AC)$ : il existe un réel unique $k$ tel que $\overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AC}.$ 

 

Comme $(IR)$ et $(AC)$ sont orthogonales, on a $\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{AC}=0.$

 

b. Si $R$ a pour coordonnées $(x\;,\ y\;,\ z)\;,\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& k\\ y &=& k\\ z &=& 0 \end{array} \right.$ 

D'où en remplaçant par les coordonnées de $R$ :

\begin{eqnarray} \overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{AC}=0&\Leftrightarrow&\left(x-\dfrac{1}{3}\right).1+(y-1).1+(z-1).0=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x+y-\dfrac{4}{3}=0 \nonumber \\ &\Rightarrow&2k=\dfrac{4}{3} \nonumber \\ &\Rightarrow&k=\dfrac{2}{3} \nonumber \\ &\Rightarrow&R\left(\dfrac{2}{3}\;;\ \dfrac{2}{3}\;;\ 0\right) \nonumber\end{eqnarray}

 

c. $$IR=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+1}=\dfrac{\sqrt{11}}{3}$$

 

4. $\vec{n}(3\;;\ -3\;;\ 2)$ est normal au vecteur $\overrightarrow{AC}(1\;;\ 1\;;\ 0)\ $  (produit scalaire nul) et au vecteur $\overrightarrow{AI}\left(\dfrac{1}{3}\;;\ 1\;;\ 1\right)$.

 

$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ACI)$ est un vecteur normal à ce plan.

Une équation du plan $(ACI)$ est donc $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\ \Leftrightarrow\ 3x-3y+2z=0$$

 

5. Avec $F(1\;;\ 0\;;\ 1)$ on a $$d(F\;,\ (ACI))=\dfrac{|3\times 1-3\times 0 +2\times 1|}{\sqrt{22}}=\dfrac{5}{\sqrt{22}}$$