Bac maths, C. étrangers
Classe:
Terminale
Volume + produit scalaire :
5 points
Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB=AC=AD=a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
1. Montrer que la droite (AA1) est orthogonale au plan (BCD) (on pourra par exemple calculer →AA1⋅→CD et →AA1⋅→BC)
2. En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1].
3. On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].
a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG.
b. Déterminer l'ensemble des points M de l'espace tels que ||→MA+→MB+→MC||=2||→MB+→MC||
4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.
a. Démontrer que 4→GA+→AC+→AD=→BA
b. Démontrer l'égalité HC2−HD2=→DC⋅→BA
c. En déduire que HC=HD.
On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur h et d'aire de base b est V=13hb.
Correction
Attention à bien lire l'énoncé...
Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB=AC=AD=a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
1. (AA1) est dans le plan médiateur de [BC] puisque AB=AC; (ABC isocèle) et A1B=A1C; (BCD équilatéral), (BC) est donc orthogonale à toutes les directions de ce plan, particulièrement à (AA1).
Le calcul des produits scalaires n'est pas nécessaire et en plus risque d'embrouiller l'esprit...

2. D'un côté on a BC=a√2,DI=BC√32=a√62
d'où :
V=13(BCD).AA1=13(12a√2√32a√2)AA1=a2√66AA1
d'un autre côté on a (DA) orthogonal à (AB) et (AC), donc (DA) orthogonal à (ABC), soit V=aire(ABC).DA=13(12a2)a=16a3
on en déduit AA1=16a26a2√6=a√6
3. a. G = barycentre de {(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)} ou encore de {(A, 1), (A1, 3)} , on a donc →AG=34→AA1.
Donc G appartient au segment [AA1] et AG=34AA1=3a4√6.
b. On introduit G dans le vecteur de gauche, I dans celui de droite, et on a ||4→MG||=2||→MI||⇔ MG=MI
L'ensemble cherché est le plan médiateur de [GI].
4. a. On met G partout et on utilise \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0} :
4\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GA}\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{BG}=\vec{0}
b. On factorise : \begin{eqnarray} HC^{2}-HD^{2}&=&(\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{HD})(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}) \nonumber \\ &=&\overrightarrow{DC}\cdot 2\overrightarrow{HJ} \nonumber \\ &=&\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{BA}\quad (\text{Thalès dans }ABHJ) \nonumber \end{eqnarray}
c. Comme (DC) est orthogonal à (AB), on a HC^{2}=HD^{2}\ \Rightarrow\ HC=HD.
Ajouter un commentaire