Bac maths, C. étrangers

Classe: 
Terminale
 

Volume + produit scalaire :

5 points
 
Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB=AC=AD=a. On appelle A1 le centre de gravité du  triangle BCD.
 
1. Montrer que la droite (AA1) est orthogonale au plan (BCD) (on pourra par exemple calculer AA1CD et AA1BC)
 
2. En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1].
 
3. On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].
 
a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG.
 
b. Déterminer l'ensemble des points M de l'espace tels que ||MA+MB+MC||=2||MB+MC||
 
4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.
 
a. Démontrer que 4GA+AC+AD=BA
 
b. Démontrer l'égalité HC2HD2=DCBA
 
c. En déduire que HC=HD.
 
On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur h et d'aire de base b est V=13hb.

Correction

Attention à bien lire l'énoncé...
 
Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB=AC=AD=a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
 
1. (AA1) est dans le plan médiateur de [BC] puisque AB=AC;  (ABC isocèle) et A1B=A1C;  (BCD équilatéral), (BC) est donc orthogonale à toutes les directions de ce plan, particulièrement à (AA1).
 
Le calcul des produits scalaires n'est pas nécessaire et en plus risque d'embrouiller l'esprit...

 

 
2. D'un côté on a BC=a2,DI=BC32=a62
d'où :
V=13(BCD).AA1=13(12a232a2)AA1=a266AA1
 
d'un autre côté on a (DA) orthogonal à (AB) et (AC), donc (DA) orthogonal à (ABC), soit V=aire(ABC).DA=13(12a2)a=16a3 
on en déduit AA1=16a26a26=a6
 
3. a. G = barycentre de {(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)} ou encore de {(A, 1), (A1, 3)} , on a donc AG=34AA1.
 
Donc G appartient au segment [AA1] et AG=34AA1=3a46.
 
b. On introduit G dans le vecteur de gauche, I dans celui de droite, et on a ||4MG||=2||MI|| MG=MI
 
L'ensemble cherché est le plan médiateur de [GI].
 
4. a. On met G partout et on utilise \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0} :
4\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GA}\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{BG}=\vec{0}
 
b. On factorise : \begin{eqnarray} HC^{2}-HD^{2}&=&(\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{HD})(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}) \nonumber \\ &=&\overrightarrow{DC}\cdot 2\overrightarrow{HJ} \nonumber \\ &=&\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{BA}\quad (\text{Thalès dans }ABHJ) \nonumber \end{eqnarray} 
 
c. Comme (DC) est orthogonal à (AB), on a HC^{2}=HD^{2}\ \Rightarrow\ HC=HD.
 

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