Bac Maths, ES/L - Amérique du Sud 13 novembre 2019

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Pour les questions $1$ et $2$, on considère une entreprise qui produit des plaquettes de beurre de $250$ grammes.

1) La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=250$ et d’écart type $\sigma=1.$

Alors, à $10^{−3}$ près, on a :
$$\begin{array}{|l|l|} \hline A.\ P(X<250)\approx 0.459& B.\ P(X>249)\approx 0.659\\ \hline C.\ P(X<249)\approx 0.159& D. \ P(X<252)\approx 0.997\\ \hline \end{array}$$

2) Pour être conformes, ces plaquettes de beurre doivent avoir une masse nette comprise entre $248$ et $252$ grammes.

Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de $900$ plaquettes et constate que $864$ sont conformes.

L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de $95\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est, avec les bornes données à $10^{−3}$ près
$$\begin{array}{|l|l|} \hline A.\ {0.91\ ;\ 1.01}&B. \ {0.926\ ;\  0.994}\\ \hline C.\ {0.245\ ;\ 0,255}&D.\  {0,958\ ;\  0.962}\\ \hline \end{array}$$

4) Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0\ ;\ 30]$ par :
$$f(x)=x^{3}-39x^{2}+315x+45.$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

On a alors :
$$\begin{array}{|l|} \hline A.\ f\text{ est convexe sur l'intervalle }[0\ ;\ 30]\\ \hline B.\ f\text{ est concave sur l'intervalle }[5\ ;\ 2]\\ \hline C.\ \mathcal{C}\text{ admet un point d'inflexion}\\\text{au point d’abscisse} 13\\ \hline D.\  Si f'\text{ désigne la fonction dérivée de }f,\\\text{alors }f′ \text{ est croissante sur l'intervalle }[0\ ;\ 5]\\ \text{ et sur l'intervalle }[21\ ;\ 30]\\ \hline \end{array}$$

Commun à tous les candidats

Au $1^{er}$ janvier $2018$, un arboriculteur possède $5000$ pommiers.

Chaque année :

$\bullet\ $ il arrache $4\%$ des pommiers car ils sont endommagés ;

$\bullet\ $ il replante $300$ nouveaux pommiers.

On modélise la situation par une suite $(u_{n})$ où, pour tout entier naturel $n$, un représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au $1^{er}$ janvier de l'année $(2018+n).$

On obtient ainsi une suite $(u_{n})$ telle que :$u_{0}=5000$ et $u_{n+1}=0.96u_{n}+300$, pour tout entier naturel $n.$

1) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}.$

Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au $1^{er}$ janvier $2020+2.$

On définit la suite $(u_{n})$ par $v_{n}=u_{n}−7500$, pour tout entier naturel $n.$

a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_{0}.$

b) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$

c) En déduire que, pour tout entier naturel $n:u_{n}=7500−2500\times 0.96n.$

3) La superficie des terrains de l'arboriculteur lui permet d'avoir au maximum $6000$ pommiers.

L'arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.

On considère l'algorithme ci-dessous
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Ligne 1}&n\leftarrow 0\\ \text{Ligne 2}&u\leftarrow 5000\\ \text{Ligne 3}&\text{Tant que}\ldots\\ \text{Ligne 4}&\quad n\leftarrow n+1\\ \text{Ligne 5}&\quad u\leftarrow \ldots\\ \text{Ligne 6}&\text{Fin tant que}\\ \hline \end{array}$$

a) Recopier et compléter les lignes $3$ et $5$ de cet algorithme afin qu'il réponde à la problématique énoncée ci-dessus.

b) Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4) Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur ?

Justifier la réponse.

Candidats de E, S n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Lors d'une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.

Aucun participant n'abandonne la course

$\bullet\ $ Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de $5$ heures; les autres en plus de $5$ heures.

$\bullet\ $ Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de $5$ heures; les autres en moins de $5$ heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note :

$\bullet\  L$ l'évènement « le cycliste est licencié dans un club » et $L$ son évènement contraire,

$\bullet\  M$ l'évènement « le cycliste fait le parcours en moins de $5$ heures » et $\overline{M}$ son évènement contraire.

1) À l'aide des données de l'énoncé préciser les valeurs de $P(L),P_{L}(M)$ et $P_{\overline{L}}(\overline{M}).$

2) Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant représentant la situation.

3.Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures.

4.Justifier que $P(M)=0.513.$

5. Un organisateur affirme qu'au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de $5$ heures sont licenciés dans un club.

A-t-il raison ?

Justifier la réponse.

6. Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures.

On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?

b. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'exactement quatre des dix cyclistesaient réalisé le parcours en moins de cinq heures.

c. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures ?

Candidats de la série E, S ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Une course cyclosportive propose deux parcours : un grand de $130$ kilomètres et un petit de $70$ kilomètres.

L'étude ci-après porte sur les cyclistes fidèles qui participent tous les ans à cette épreuve.

En $2018$, $42\%$ des cyclistes ont fait le grand parcours, les autres le petit.

Ces dernières années, les organisateurs ont constaté que :

$\bullet\  90\%$ des cyclistes ayant fait le grand parcours une année se réinscrivent pour ce même parcours l'année suivante ; les autres s'inscrivent pour faire le petit parcours.

$\bullet\  15\%$ des cyclistes ayant fait le petit parcours une année s'inscrivent sur le grand parcours l'année suivante ; les autres restent fidèles au petit parcours.

On note $G$ l'état : « le cycliste fait le grand parcours »,

$S$ l'état : « le cycliste fait le petit parcours » et $P_{n}=(g_{n}\quad s_{n})$ désigne la matrice ligne donnant la probabilité, pour un cycliste, de participer respectivement au grand et au petit parcours lors de la course de l'année $(2018+n).$

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $G$ et $S.$

2. Recopier et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre des sommets $G$ puis $S$ :
$$M=\left(0.9\quad \ldots\\\ldots\quad\ldots\right).$$

3. Déterminer l'état initial $P_{0}$ et l'état $P_{1}.$

En déduire le pourcentage de cyclistes qui, selon ce modèle,participeront au grand par-cours en $2019.$

4.On note $P=(x\quad y)$ la matrice associée à l'état stable de ce graphe.

a. Calculer $x$ et $y$ en résolvant un système.

b. Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme le grand parcours aura plus de succès que le petit ?

Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont :

$\bullet\ $ le stand des vélos de routes $(R),$

$\bullet\ $ le stand des $VTT (T)$,

$\bullet\ $ le stand des $BMX (B)$,

$\bullet\ $ le stand de l'habillement $(H)$,

$\bullet\ $ le stand des compteurs et $GPS (C)$,

$\bullet\ $ le stand des accessoires et pièces détachées $(A).$

Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ : les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

1.Ce graphe est-il complet ?

Est-il connexe ?

Justifier les réponses.

2. Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune de sallées ?

Justifier la réponse.

Si oui, donner un trajet possible en précisant le stand de départ et celui d'arrivée.

Commun à tous les candidats

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\ ;\ 19]$, représente l'audience journalière d'une chaîne de télévision entre le $1^{er}$ janvier $2000$ $($année numéro $0)$ et le $1^{er}$ janvier $2019$ $($année numéro $19)$, c'est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.

Ainsi, le $1^{er}$ janvier $2000$ la chaîne a été regardée par environ $460\ 000$ téléspectateurs.

1.  Décrire l'évolution de l'audience journalière de cette chaîne de télévision entre le $1^{er}$ janvier $2000$ et le $1^{er}$ janvier $2019.$

2.  Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs $1^{er}$ janvier $2014.$

3. La droite $(AB)$, où les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(0\ ;\ 460)$ et $B(3\ ;\ 82)$, est la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A.$

Déterminer la valeur de $f′(0)$ où $f′$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(\mathcal{C})$ ?

On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.

On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\ ;\ 29]$ par :
$$f(x)=(20x^{2}−80x+460)\mathrm{e}^{−0.1x}$$ où $x$ représente le nombre d'années depuis $2000$ $($par exemple $x=19$ pour l'année $2019).$

1.  Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le $1^{er}$ janvier $2014.$

2.  On note $f′$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0\ ;\ 29].$

a. Démontrer que $f′$ est définie par :
$$f′(x)=(−2x^{2}+48x−126)\mathrm{e}^{−0.1x}.$$

b. On considère l'équation : $−2x^{2}+48x−126=0.$

Un logiciel de calcul formel donne :

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Instruction :} &\text{Résultat:} \\
\hline
\text{Solve}(−2x^{2}+48x−126=0) &3\text{ et }21\\
\hline
\end{array}$$

Retrouver ce résultat par le calcul.

c. En déduire le signe de $f′(x)$ sur l'intervalle $[0\ ;\ 29]$ et construire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $[0\ ;\ 29].$

Arrondir les éléments du tableau à l'unité.

d. Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l'année $2029$ ?

Justifier.

3. Montrer que l'équation $f(x)=800$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[3\ ;\ 21].$

Déterminer un encadrement d'amplitude $1$ de $\alpha.$

Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il $800000$ ?

4. On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0\ ;\ 29]$ par :
$$F(x)=(−200x^{2}−3200x−36600)\mathrm{e}^{−0,1x}$$ est une primitive de la fonction $f.$

Déterminer à mille près l'audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne  de télévision entre le $1^{er}$ janvier $2018$ et le $1^{er}$ janvier $2019.$