Bac maths, Etranger

Classe: 
Terminale
 

Molécule de méthane 

La molécule de méthane (CH4) a la forme d'un tétraèdre régulier de côté a dont les sommets sont occupés par des atomes d'hydrogène et le centre est occupé par l'atome de carbone. On considère par la suite que chaque atome peut être assimilé à un point.
 
1. Sur la figure ci-après construire le centre de gravité G du tétraèdre ABCD.

 

 
Montrez que la droite (GD) est orthogonale au plan (ABC). Soit H le projeté orthogonal de D (et donc de G) sur (ABC).
 
Que peut-on dire de H dans le triangle (ABC) ?
 
Montrez que GH=14DH
 
On note I le milieu de [AB].
 
2. Que peut-on dire du triangle CID
 
Calculez les distances CI, CH, GH, GC
 
Déduisez-en le cosinus de l'angle ^CGD puis une valeur approchée en degrés de cet angle à 102 près.
 
3. A la suite d'une expérience de chimie amusante on a remplacé un des atomes d'hydrogène par la molécule (COOH) ce qui donne de l'acide acétique. La molécule a alors la forme de deux tétraèdres reliés par les deux atomes de carbone comme l'indique le schéma joint.
 
Sachant que l'atome de carbone a pour masse 12, celui d'oxygène 16 et celui d'hydrogène 1 construire le centre de gravité de la molécule (CH3COOH) sur la figure suivante (les lettres représentent les divers atomes).

 

 

Correction

1. Pour construire le centre de gravité G du tétraèdre ABCD on construit le barycentre de {(A; 1), (B; 1), (C; 1), (D; 1)} 
 
Par ailleurs, G est tel que GA=GD=GB=GC et appartient aux plans médiateurs de [AB], [BC] et [AC] ; ces trois plans sont perpendiculaires respectivement à (AB), (BC) et (AC), l'intersection de ces trois plans est la droite (GD) qui est donc perpendiculaire au plan (ABC).
 
H est à l'intersection des médiatrices dans le triangle (ABC) qui est équilatéral ; c'est le centre de ce triangle.
 
En prenant le barycentre H de {(A; 1), (B; 1), (C; 1)}, on a G barycentre de {(H; 3), (D; 1)} et donc HG=14HD, soit GH=14DH.

 

 
2. CID est isocèle et CI=ID.
 
Comme les triangles ABC, CBD, etc. sont équilatéraux, CI=ID=a32
 
H est le centre de gravité de ABC donc CH=32a32=a33
DHC est rectangle en H donc :
 
CH2+DH2=DC2DH2=a2a239=a223DH=a63 
 
On en tire GH=14DH=a612 enfin GC=GD34DH=a64
 
Avec Al-Kashi :
 
cos^CGD=CD2GC2GD22GC.GD=a2(1616616)2a2616.616=14932=89 ^CGD152.73o
 
3. On construit le centre de gravité de gauche, G1 : {(H; 1), (H; 1), (H; 1), (C; 12)} qui aura la masse 15 et celui de droite, G2 : {(H; 1), (O; 16), (C; 12)} qui aura la masse 45. 
 
Le centre de gravité de la molécule sera en G tel que G1G=4564G1G2
 

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