Bac maths, Etranger
Classe:
Terminale
Molécule de méthane
La molécule de méthane (CH4) a la forme d'un tétraèdre régulier de côté a dont les sommets sont occupés par des atomes d'hydrogène et le centre est occupé par l'atome de carbone. On considère par la suite que chaque atome peut être assimilé à un point.
1. Sur la figure ci-après construire le centre de gravité G du tétraèdre ABCD.

Montrez que la droite (GD) est orthogonale au plan (ABC). Soit H le projeté orthogonal de D (et donc de G) sur (ABC).
Que peut-on dire de H dans le triangle (ABC) ?
Montrez que GH=14DH
On note I le milieu de [AB].
2. Que peut-on dire du triangle CID ?
Calculez les distances CI, CH, GH, GC.
Déduisez-en le cosinus de l'angle ^CGD puis une valeur approchée en degrés de cet angle à 10−2 près.
3. A la suite d'une expérience de chimie amusante on a remplacé un des atomes d'hydrogène par la molécule (COOH) ce qui donne de l'acide acétique. La molécule a alors la forme de deux tétraèdres reliés par les deux atomes de carbone comme l'indique le schéma joint.
Sachant que l'atome de carbone a pour masse 12, celui d'oxygène 16 et celui d'hydrogène 1 construire le centre de gravité de la molécule (CH3COOH) sur la figure suivante (les lettres représentent les divers atomes).

Correction
1. Pour construire le centre de gravité G du tétraèdre ABCD on construit le barycentre de {(A; 1), (B; 1), (C; 1), (D; 1)}
Par ailleurs, G est tel que GA=GD=GB=GC et appartient aux plans médiateurs de [AB], [BC] et [AC] ; ces trois plans sont perpendiculaires respectivement à (AB), (BC) et (AC), l'intersection de ces trois plans est la droite (GD) qui est donc perpendiculaire au plan (ABC).
H est à l'intersection des médiatrices dans le triangle (ABC) qui est équilatéral ; c'est le centre de ce triangle.
En prenant le barycentre H de {(A; 1), (B; 1), (C; 1)}, on a G barycentre de {(H; 3), (D; 1)} et donc →HG=14→HD, soit GH=14DH.

2. CID est isocèle et CI=ID.
Comme les triangles ABC, CBD, etc. sont équilatéraux, CI=ID=a√32
H est le centre de gravité de ABC donc CH=32a√32=a√33
DHC est rectangle en H donc :
CH2+DH2=DC2⇔DH2=a2−a239=a223⇔DH=a√63
On en tire GH=14DH=a√612 enfin GC=GD34DH=a√64
Avec Al-Kashi :
cos^CGD=CD2−GC2−GD2−2GC.GD=a2(1−616−616)−2a2616.616=14−932=−89⇒ ^CGD≈152.73o
3. On construit le centre de gravité de gauche, G1 : {(H; 1), (H; 1), (H; 1), (C; 12)} qui aura la masse 15 et celui de droite, G2 : {(H; 1), (O; 16), (C; 12)} qui aura la masse 45.
Le centre de gravité de la molécule sera en G tel que →G1G=4564→G1G2
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