Bac maths, France
Classe:
Terminale
Distance 1 point à 2 plans :
3 points
L'espace est muni du repère orthonormal (O; →i, →j, →k).
Soient (P) et (P′) les plans d'équations respectives x+2y−z+1=0et−x+y+z=0
Soit A le point de coordonnées (0; 1; 1).
1. Démontrer que les plans (P) et (P′) sont perpendiculaires.
2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est : {x=−13+ty=−13z=t,où t est un nombre réel
Démontrer que les plans (P) et (P′) se coupent selon la droite (d).
3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P′).
4. En déduire la distance du point A à la droite (d).
Correction
1. →nP(12−1), →nP′(−111)
→nP⋅→nP′=−1+2−1=0 donc les plans (P) et (P′) sont perpendiculaires.
2.
{x+2y−z+1=0−x+y+z=0z=t⇔{x+2y=t−1−x+y=−tz=t⇔{x=23+t−1y=−13z=t⇔{x=t−13y=−13z=t
3.
d(A; P)=|0+2−1+1|√1+4+1=2√6=2√3
d(A; P′)=|0+1+1|√1+1+1=2√3
4. Soit H et H′ les projections orthogonales de A sur les plans ; K le point d'intersection entre le plan (AHH′) et (d) ; la distance de A à (d) est AK.
Par ailleurs, les deux plans sont orthogonaux, AHKH′ est donc un rectangle, soit :
AK2=AH2+AH′2=46+43=126=2⇒ AK=√2
Autre méthode : prenons un point M de paramètre t sur (d) ; AM2=f(t)=(t−13)2+(−13−1)2+(t−1)2
Soit f(t)=t2−23t+19+169+t2−2t+1=2t2−83t+269
Le minimum de f est atteint pour 4t−83=0 ⇔ t=23, soit au point K de coordonnées (13; −13; 23), et
AK2=f(23)=89−169+269=2⇔ AK=√2

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