Bac maths, France

Classe: 
Terminale
 

Distance 1 point à 2 plans :

3 points
 
 
L'espace est muni du repère orthonormal (O; i, j, k).
 
Soient (P)  et  (P) les plans d'équations respectives x+2yz+1=0etx+y+z=0 
 
Soit A le point de coordonnées (0; 1; 1).
 
1. Démontrer que les plans (P)  et  (P) sont perpendiculaires.
 
2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est : {x=13+ty=13z=t,où t est un nombre réel
 
Démontrer que les plans (P)  et  (P) se coupent selon la droite (d).
 
3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P)  et  (P).
 
4. En déduire la distance du point A à la droite (d).

Correction

1. nP(121), nP(111) 
 
nPnP=1+21=0  donc les plans (P) et (P) sont perpendiculaires.
 
2.
 
{x+2yz+1=0x+y+z=0z=t{x+2y=t1x+y=tz=t{x=23+t1y=13z=t{x=t13y=13z=t 
 
3.
 
d(A; P)=|0+21+1|1+4+1=26=23
 
d(A; P)=|0+1+1|1+1+1=23
 
4. Soit H  et  H les projections orthogonales de A sur les plans ; K le point d'intersection entre le plan (AHH)  et  (d) ; la distance de A à (d) est AK.
 
Par ailleurs, les deux plans sont orthogonaux, AHKH est donc un rectangle, soit :
 
AK2=AH2+AH2=46+43=126=2 AK=2
 
Autre méthode : prenons un point M de paramètre t sur (d) ; AM2=f(t)=(t13)2+(131)2+(t1)2
 
Soit f(t)=t223t+19+169+t22t+1=2t283t+269
 
Le minimum de f est atteint pour 4t83=0  t=23,  soit au point K de coordonnées (13; 13; 23), et
 
AK2=f(23)=89169+269=2 AK=2

 

 

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