Bac maths, France 06/2008

Classe: 
Terminale

Distance point-droite :

5 points
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A(1, 1, 0), B(1, 2, 1) et C(3, 1, 2).
 
1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
 
b. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+yz3=0
   
2. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives x+2yz4=0 et 2x+3y2z5=0.
 
Démontrer que l'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D) dont une représentation paramétrique est : {x=2+ty=3z=2+2t, tR
 
3. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q) ?
 
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
 
Déterminer la distance du point A à la droite (D).

Correction

1. a. AB=(0; 1; 1), AC=(2; 2; 2), les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.
 
b. Soit n=(2; 1; 1)  un vecteur normal à 2x+yz3=0
 
on a alors nAB=0+11=0 et nAB=422=0
 
par ailleurs, A vérifie 2x+yz3=0. 
 
Donc (ABC) a pour équation 2x+yz3=0.
 
2. {x+2yt4=02x+3y2t5=0z=t{x+2y=t+42x+3y=2t+5z=t{x=2y+t+44y+2t+8+3y=2t+5z=t{x=2+ty=3z=t 
 
3. Remplaçons : 2x+yz3=02(2+t)+3t3=0t=4 
les plans se coupent en un point : D(2; 3; 4).
 
4. On remarque que A est dans (Q), mais ça n'avance pas à grand chose. Il faut trouver le plan passant par
A et orthogonal à (D) puis le point d'intersection E entre ce plan et (D) : uD=(1; 0; 1)
AMuD=0(x1).1+(y1).0+(z0).1=0x+z1=0
on coupe avec (D) : (2+t)+t1=0  t=32  
 
d'où E(12; 3; 32) et AE=(121)2+(31)2+(320)2)=344
 

Ajouter un commentaire