Bac maths, France 06/2008

5 points

 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points $A(1\;,\ 1\;,\ 0)\;,\ B(1\;,\ 2\;,\ 1)$ et $C(3\;,\ -1\;,\ 2).$

 

1. a. Démontrer que les points $A\;,\ B$ et $C$ ne sont pas alignés.

 

b. Démontrer que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $$2x+y-z-3=0$$

   

2. On considère les plans $(P)$ et $(Q)$ d'équations respectives $x+2y-z-4=0$ et $2x+3y-2z-5=0.$

 

Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est une droite $(D)$ dont une représentation paramétrique est : $$\left\{\begin{array}{lll} x &=& -2+t\\ y &=& 3 \\ z &=& 2+2t \end{array} \right.\;,\ t\in \mathbb{R}$$

 

3. Quelle est l'intersection des trois plans $(ABC)\;,\ (P)$ et $(Q)$ ?

 

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

 

Déterminer la distance du point $A$ à la droite $(D)$.

1. a. $\overrightarrow{AB}=(0\;;\ 1\;;\ 1)\;,\ \overrightarrow{AC}=(2\;;\ -2\;;\ 2)$, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les points $A,\ B$ et $C$ ne sont pas alignés.

 

b. Soit $\vec{n}=(2;\ 1;\ -1)\ $ un vecteur normal à $2x+y-z-3=0\;$ ; 

 

on a alors $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0+1-1=0\text{ et }\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=4-2-2=0\;$; 

 

par ailleurs, $A$ vérifie $2x+y-z-3=0.$ 

 

Donc $(ABC)$ a pour équation $2x+y-z-3=0.$

 

2. \begin{eqnarray} \left\lbrace\begin{array}{lcl} x+2y-t-4 &=& 0\\ 2x+3y-2t-5 &=& 0\\ z &=& t \end{array} \right.&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+2y &=& t+4\\ 2x+3y &=& 2t+5\\ z &=& t \end{array} \right. \nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -2y+t+4\\ -4y+2t+8+3y &=& 2t+5\\ z &=& t \end{array} \right.\nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -2+t\\ y &=& 3\\ z &=& t \end{array} \right.\nonumber \end{eqnarray} 

 

3. Remplaçons : \begin{eqnarray} 2x+y-z-3=0&\Leftrightarrow&2(-2+t)+3-t-3=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&t=4 \nonumber \end{eqnarray} 

les plans se coupent en un point : $D(2\;;\ 3\;;\ 4).$

 

4. On remarque que $A$ est dans $(Q)$, mais ça n'avance pas à grand chose. Il faut trouver le plan passant par

$A$ et orthogonal à $(D)$ puis le point d'intersection $E$ entre ce plan et $(D)\ :\ \vec{u}_{D}=(1\;;\ 0\;;\ 1)$

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}_{D}=0&\Leftrightarrow&(x-1).1+(y-1).0+(z-0).1=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x+z-1=0 \nonumber \end{eqnarray}

on coupe avec $(D)\ :\ (-2+t)+t-1=0\ \Leftrightarrow\ t=\dfrac{3}{2}\ $ 

 

d'où $$E\left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 3\;;\ \dfrac{3}{2}\right)$$ et $$AE=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)^{2}+(3-1)^{2}+\left(\dfrac{3}{2}-0)^{2}\right)}=\sqrt{\dfrac{34}{4}}$$