Bac maths, France 06/2008
Classe:
Terminale
Distance point-droite :
5 points
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j, →k), on considère les points A(1, 1, 0), B(1, 2, 1) et C(3, −1, 2).
1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+y−z−3=0
2. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives x+2y−z−4=0 et 2x+3y−2z−5=0.
Démontrer que l'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D) dont une représentation paramétrique est : {x=−2+ty=3z=2+2t, t∈R
3. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q) ?
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point A à la droite (D).
Correction
1. a. →AB=(0; 1; 1), →AC=(2; −2; 2), les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Soit →n=(2; 1; −1) un vecteur normal à 2x+y−z−3=0 ;
on a alors →n⋅→AB=0+1−1=0 et →n⋅→AB=4−2−2=0;
par ailleurs, A vérifie 2x+y−z−3=0.
Donc (ABC) a pour équation 2x+y−z−3=0.
2. {x+2y−t−4=02x+3y−2t−5=0z=t⇔{x+2y=t+42x+3y=2t+5z=t⇔{x=−2y+t+4−4y+2t+8+3y=2t+5z=t⇔{x=−2+ty=3z=t
3. Remplaçons : 2x+y−z−3=0⇔2(−2+t)+3−t−3=0⇔t=4
les plans se coupent en un point : D(2; 3; 4).
4. On remarque que A est dans (Q), mais ça n'avance pas à grand chose. Il faut trouver le plan passant par
A et orthogonal à (D) puis le point d'intersection E entre ce plan et (D) : →uD=(1; 0; 1)
→AM⋅→uD=0⇔(x−1).1+(y−1).0+(z−0).1=0⇔x+z−1=0
on coupe avec (D) : (−2+t)+t−1=0 ⇔ t=32
d'où E(−12; 3; 32) et AE=√(−12−1)2+(3−1)2+(32−0)2)=√344
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