Bac maths, La Réunion sept. 2010

5 points

 

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

 

On considère les plans $P$ et $Q$ d'équations respectives : $x+y+z=0$ et $2x+3y+z-4=0.$

 

1. Montrer que l'intersection des plans $P$ et $Q$ est la droite $D$ dont une représentation est : $$\left\{ \begin{array}{lll} x &=& -4-2t\\ y &=& 4+t \\ z &=& t \end{array} \right.\quad\text{où } t\text{ est un nombre réel}$$

 

2. Soit $\lambda$ un nombre réel.

 

On considère le plan $P_{\lambda}$ d'équation : $(1-\lambda)(x+y+z)+\lambda(2x+3y+z-4)=0.$

 

a. Vérifier que le vecteur $\vec{n}(1+\lambda\;;\ 1+2\lambda\;;\ 1)$ est un vecteur normal du plan $P_{\lambda}.$

 

b. Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus.

 

c. Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ?

 

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D'$, intersection des plans $P$ et $P_{-1}.$

 

Montrer que les droites $D$ et $D'$ sont confondues.

 

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

 

On considère le point $A(1\;;\ 1\;;\ 1)$.

 

Déterminer la distance du point $A$ à la droite $D$, c'est-à-dire la distance entre le point $A$ et son projeté orthogonal sur la droite $D.$

1. $$\begin{eqnarray} M(x\;,\ y\;,\ z)\in P\cap Q&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y+z &=& 0\\ 2x+3y+z-4 &=& 0 \end{array} \right.\nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -y-t\\ -2y-2t+3y &=& 4-t\\ z &=& t \end{array} \right.\nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -4-2t\\ y &=& 4+t\\ z &=& t \end{array} \right.\nonumber \end{eqnarray}$$  

Ce sont bien les équations paramétriques d'une droite $D$ contenant le point $(-4\;;\ 4\;;\ 0)$ en posant $t=0$, et de vecteur directeur $(-2\;;\ 1\;;\ 1).$

 

2. a. On développe et on regroupe suivant les variables : $$\begin{eqnarray} (1-\lambda)(x+y+z)+\lambda(2x+3y+z-4)=0&\Leftrightarrow&(1-\lambda+2\lambda)x+(1-\lambda+3\lambda)y \nonumber \\ & &+(1-\lambda+\lambda)z-4\lambda=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&(1+\lambda)x+(1+2\lambda)y+z-4\lambda=0 \nonumber \end{eqnarray}$$ dont un vecteur normal est $\vec{n}(1+\lambda\;;\ 1+2\lambda\;;\ 1).$

 

b. Les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus si et seulement si les coefficients de leurs équations sont

proportionnels, soit : $$\dfrac{1+\lambda}{1}=\dfrac{1+2\lambda}{1}=\dfrac{1}{1}$$ ce qui conduit à $\lambda=0$.

 

c. Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{p}=(1\;;\ 1\;;\ 1)\ P$ et $P\lambda$ sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, soit $$\begin{eqnarray} \vec{n}\cdot\vec{p}=0&\Leftrightarrow&1+\lambda+1+2\lambda+1=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&\lambda=-1 \nonumber \end{eqnarray}$$  

 

3. Le plan $P_{-1}$ d'équation $-y+z+4=0$ est perpendiculaire au plan $P.$

Comme à la question 1. il faut résoudre le système : $$\begin{eqnarray} \left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y+z &=& 0\\ -y+z-4 &=& 0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -y-t\\ y &=& 4+t\\ z &=& t \end{array} \right. \nonumber \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -4-2t\\ y &=& 4+t\\ z &=& t \end{array}\right. \nonumber \end{eqnarray}$$  

ce qui redonne $D$.

 

4. Soit $H$ et $K$ les projeté orthogonaux de $A$ respectivement sur $P$ et $P_{-1}$ ; soit $I$ le projeté orthogonal de $A$ sur $D$. Les points $A,\ H,\ K$ et $I$ sont coplanaires : ils appartiennent au plan perpendiculaire à $P$ et $P_{-1}$ contenant $A.$ 

 

$(AH)$ et $(AK)$ perpendiculaires à deux plans perpendiculaires sont perpendiculaires.

 

Le quadrilatère $AHIK$ est donc un rectangle.

 

On a $$\begin{eqnarray} d(A\;,\ P)&=&AH \nonumber \\ &=&\dfrac{|1+1+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}} \nonumber \\ &=&\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \nonumber \end{eqnarray}$$  

et $$\begin{eqnarray} d(A\;,\ P_{-1})&=&AK \nonumber \\ &=&\dfrac{|-1+1+4|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}} \nonumber \\ &=&\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \nonumber \end{eqnarray}$$   

D'après le théorème de Pythagore : $$AI^{2}=AH^{2}+AK^{2}=3+8=11\ \Rightarrow\ d( A,\ (D))=\sqrt{11}$$

 

Autre méthode : Soit $M$ un point de $(D)$, 

$$\begin{eqnarray} AM&=&\sqrt{(x_{M}-x_{A})^{2}+...} \nonumber \\ &=&\sqrt{(-4-2t-1)^{2}+(4+t-1)^{2}+(t-1)^{2}} \nonumber \\ &=&\sqrt{(-5-2t)^{2}+(3+t)^{2}+(t-1)^{2}} \nonumber \\ &=&f(t) \nonumber \end{eqnarray}$$

 

Dérivons : $f'(t)=\dfrac{-4(-5-2t)+2(3+t)+2(t-1)}{\sqrt{...}}=\dfrac{12t+24}{\sqrt{...}}$ s'annule pour $t=-2\;;$ la distance est minimale pour $M(0\;;\ 2\;;\ 2)$ et vaut $f(-2)=\sqrt{11}.$