Bac maths, Liban
Classe:
Terminale
Lignes de niveau :
5 points
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j, →k),
on donne les points A(2; 1; 3), B(−3; −1; 7) et C(3; 2; 4).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique {x=−7+2ty=−3tz=4+t, t∈R
a. Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).
b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
3. Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).
a. Montrer que H est le barycentre de (A; −2), (B; −1), (C; 2).
b. Déterminer la nature de l'ensemble Γ1, des points M de l'espace tels que (−2→MA−→MB+2→MC)⋅(→MB−→MC)=0
En préciser les éléments caractéristiques.
c. Déterminer la nature de l'ensemble Γ2, des points M de l'espace tels que ||−2→MA−→MB+2→MC||=√29
En préciser les éléments caractéristiques.
d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l'intersection des ensembles Γ1 et Γ2.
e. Le point S(−8; 1; 3) appartient-il à l'intersection des ensembles Γ1 et Γ2 ?
Correction
1. A, B et C sont alignés si il existe k réel tel que →AC=k→AB ⇔ (111)=k(−5−24)... ce qui est impossible
2. a. Un vecteur directeur de (d) est →n=(2−31); on calcule les produits scalaires →n⋅→AB=−10+6+4=0 et →n⋅→AC=2−3+1=0 donc (d) est orthogonale à (ABC).
b. M(x, y, z)∈(ABC) →AM⋅→n=0⇔(x−2y−1z−3).(2−31)=0⇔2x−3y+z−4=0
3. a. On remplace x, y, z dans l'équation de (ABC) par : {x=−7+2ty=−3tz=4+t soit 2(−7+2t)−3(−3t)+(4+t)−4=0⇔14t−14=0⇔t=1⇒{x=−7+2=−5y=−3z=4+1=5
Le barycentre de {(A; −2), (B; −1), (C; 2)} a pour coordonnées : {x=1−1((−2)×2−1×(−3)+2×3)=−5y=1−1(−2×1−1×(−1)+2×2)=−3z=1−1(−2×3−1×7+2×4)=5 c'est bien H.
b. On peut le faire avec les coordonnées ou avec le barycentre :
−2→MA−→MB+2→MC=−→MH et →MB−→MC=→CB d'où (−2→MA−→MB+2→MC)⋅(→MB−→MC)=0 ⇔ →MH⋅→CB=0
−2→MA−→MB+2→MC=−→MH et →MB−→MC=→CB d'où (−2→MA−→MB+2→MC)⋅(→MB−→MC)=0 ⇔ →MH⋅→CB=0
Γ1 est le plan passant par H et orthogonal à (CB).
c. ||−2→MA−→MB+2→MC||=√29 ⇔ MH=√29
Γ2 est la sphère de centre H, de rayon √29.
d. Comme Γ1 contient H, l'intersection de Γ1 et Γ2 est le cercle de centre H, de rayon √29.
e. Il suffit de calculer la distance SH : √(−8+5)2+(1+3)2+(5−3)2=√9+16+4=√29 donc oui.
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