Bac maths, Liban

Classe: 
Terminale
 

Lignes de niveau :

5 points
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O; i, j, k)
 
on donne les points A(2; 1; 3), B(3; 1; 7) et C(3; 2; 4).
 
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
 
2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique {x=7+2ty=3tz=4+t, tR
 
a. Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).
 
b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
 
3. Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).
 
a. Montrer que H est le barycentre de (A; 2), (B; 1), (C; 2).
 
b. Déterminer la nature de l'ensemble Γ1, des points M de l'espace tels que (2MAMB+2MC)(MBMC)=0
En préciser les éléments caractéristiques.
 
c. Déterminer la nature de l'ensemble Γ2, des points M de l'espace tels que ||2MAMB+2MC||=29
En préciser les éléments caractéristiques.
 
d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l'intersection des ensembles Γ1 et Γ2.
 
e. Le point S(8; 1; 3) appartient-il à l'intersection des ensembles Γ1 et Γ2 ? 

Correction

1. A, B et C sont alignés si il existe k réel tel que AC=kAB  (111)=k(524)... ce qui est impossible
 
2. a. Un vecteur directeur de (d) est n=(231);  on calcule les produits scalaires nAB=10+6+4=0 et nAC=23+1=0 donc (d) est orthogonale à (ABC). 
 
b. M(x, y, z)(ABC) AMn=0(x2y1z3).(231)=02x3y+z4=0
 
3. a. On remplace x, y, z dans l'équation de (ABC) par : {x=7+2ty=3tz=4+t soit 2(7+2t)3(3t)+(4+t)4=014t14=0t=1{x=7+2=5y=3z=4+1=5 
 
Le barycentre de {(A; 2), (B; 1), (C; 2)} a pour coordonnées : {x=11((2)×21×(3)+2×3)=5y=11(2×11×(1)+2×2)=3z=11(2×31×7+2×4)=5 c'est bien H.
 
b. On peut le faire avec les coordonnées ou avec le barycentre :
2MAMB+2MC=MH et MBMC=CB d'où (2MAMB+2MC)(MBMC)=0  MHCB=0
Γ1 est le plan passant par H et orthogonal à (CB).
 
c.  ||2MAMB+2MC||=29  MH=29
Γ2 est la sphère de centre H, de rayon 29.
 
d. Comme Γ1 contient H, l'intersection de Γ1 et Γ2 est le cercle de centre H, de rayon 29.
 
e. Il suffit de calculer la distance SH : (8+5)2+(1+3)2+(53)2=9+16+4=29 donc oui.
 

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