Bac maths, Liban

 

5 points

 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, 

 

on donne les points $A(2\;;\ 1\;;\ 3)\;,\ B(-3\;;\ -1\;;\ 7)$ et $C(3\;;\ 2\;;\ 4).$

 

1. Montrer que les points $A\;,\ B$ et $C$ ne sont pas alignés.

 

2. Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique $$\left\lbrace\begin{array}{lll} x&=&-7+2t\\ y&=&-3t \\ z&=&4+t \end{array} \right.\;,\ t\in \mathbb{R}$$

 

a. Montrer que la droite $(d)$ est orthogonale au plan $(ABC).$

 

b. Donner une équation cartésienne du plan $(ABC).$

 

3. Soit $H$ le point commun à la droite $(d)$ et au plan $(ABC).$

 

a. Montrer que $H$ est le barycentre de ${(A\;;\ -2)\;,\ (B\;;\ -1)\;,\ (C\;;\ 2)}.$

 

b. Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_{1}$, des points $M$ de l'espace tels que $$(-2\vec{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=0$$

En préciser les éléments caractéristiques.

 

c. Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_{2}$, des points $M$ de l'espace tels que $$||-2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=\sqrt{29}$$

En préciser les éléments caractéristiques.

 

d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l'intersection des ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}.$

 

e. Le point $S(-8\;;\ 1\;;\ 3)$ appartient-il à l'intersection des ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}\ ?$ 

1. $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés si il existe $k$ réel tel que $$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\ \Leftrightarrow\ \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} -5\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}...\text{ ce qui est impossible}$$

 

2. a. Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 1 \end{pmatrix}\;;\ $ on calcule les produits scalaires $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-10+6+4=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2-3+1=0$ donc $(d)$ est orthogonale à $(ABC).$ 

 

b. $M(x,\ y,\ z)\in(ABC)$ \begin{eqnarray} \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix} x-2\\ y-1\\ z-3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 1 \end{pmatrix}=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&2x-3y+z-4=0 \nonumber \end{eqnarray}

 

3. a. On remplace $x\;,\ y\;,\ z$ dans l'équation de $(ABC)$ par : $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-7+2t \\ y&=&-3t\\ z&=&4+t \end{array} \right.$$ soit \begin{eqnarray} 2(-7+2t)-3(-3t)+(4+t)-4=0&\Leftrightarrow&14t-14=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&t=1 \nonumber \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -7+2=-5\\ y&=&-3\\ z&=&4+1=5 \end{array} \right. \nonumber \end{eqnarray} 

 

Le barycentre de $\{(A\;;\ -2)\;,\ (B\;;\ -1)\;,\ (C\;;\ 2)\}$ a pour coordonnées : $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{1}{-1}((-2)\times 2-1\times(-3)+2\times 3)=-5\\ \\ y&=&\dfrac{1}{-1}(-2\times 1-1\times(-1)+2\times 2)=-3\\ \\ z&=&\dfrac{1}{-1}(-2\times 3-1\times 7+2\times 4)=5 \end{array} \right.$$ c'est bien $H$.

 

b. On peut le faire avec les coordonnées ou avec le barycentre :
$$-2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MH}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$$ d'où $$(-2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=0\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{CB}=0$$

$\Gamma_{1}$ est le plan passant par $H$ et orthogonal à $(CB)$.

 

c.  $$||-2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=\sqrt{29}\ \Leftrightarrow\ MH=\sqrt{29}$$

$\Gamma_{2}$ est la sphère de centre $H$, de rayon $\sqrt{29}$.

 

d. Comme $\Gamma_{1}$ contient $H$, l'intersection de $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ est le cercle de centre $H$, de rayon $\sqrt{29}.$

 

e. Il suffit de calculer la distance $$SH\ :\ \sqrt{(-8+5)^{2}+(1+3)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$$ donc oui.