Bac maths - N. Calédonie

 

5 points

 

L'espace est rapporté à un repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, orthonormé. soit $t$ un nombre réel.

 

On donne le point $A(-1\;;\ 2\;;\ 3)$ et la droite $D$ de système d'équations paramétriques : $$\left\{ \begin{array}{lll} x &=& 9+4t\\ y &=& 6+t\\ z &=& 2+2t \end{array} \right.$$

 

Le but de cet exercice est de calculer de deux façon différentes la distance $d$ entre le point $A$ et la droite $D.$

 

1. a. Donner une équation cartésienne du plan $P$ perpendiculaire à la droite $D$ et passant par $A.$

 

b. Vérifier que le point $B(-3\;;\ 3\;;\ -4)$ appartient à la droite $D$.

 

c. Calculer la distance $d_{B}$ entre le point $B$ et le plan $P$.

 

d. Exprimer la distance $d$ en fonction de $d_{B}$ et de la distance $AB$. En déduire $l$ valeur exacte de $d.$

   

2. Soit $M$ un point de la droite $D$. Exprimer $AM^{2}$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de $d.$

1. a. Un vecteur directeur de $D$ est $(4\;;\ 1\;;\ 2)$ :

$$\begin{eqnarray} {AM}\cdot\vec{n}=0&\Leftrightarrow& \begin{pmatrix} x+1\\ y-2\\ z-3 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 4\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&4x+y+2z=0 \nonumber \end{eqnarray}$$

 

b. Il faut trouver $t\ :\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} -3 &=& 9+4t\\ 3 &=& 6+t\\ -4 &=& 2+2t \end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} t &=& -3\\ t &=& -3\\ t &=& -3 \end{array} \right.\;;$ 

 

on a la même valeur de $t$ pour les trois lignes donc $B$ est bien sur la droite.

 

c. On applique la formule de la distance : $$\begin{eqnarray} d_{B}&=&\dfrac{|4\times(-3)+1\times 3 +2\times(-3)-4|}{\sqrt{4^{2}+2^{2}+3^{2}}} \nonumber \\ &=&\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21} \nonumber \end{eqnarray}$$  

 

d. $A$ est sur le plan $P\;,\ B$ est sur la droite $D$ orthogonale à $P$, on utilise le théorème de Pythagore : $$\begin{eqnarray} AB^{2}=d^{2}+d_{B}^{2}\ \Leftrightarrow\ d^{2}&=&AB^{2}-d_{B}^{2} \nonumber \\ &=&(-2)^{2}+1^{2}+(-7)^{2}-21 \nonumber \\ &=&54-21=33 \nonumber \\ \Rightarrow\ d&=&\sqrt{33} \nonumber \end{eqnarray}$$

 

2. $$\begin{eqnarray} AM^{2}&=&(9+4t+1)^{2}+(6+t-2)^{2}+(2+2t-3)^{2} \nonumber \\ &=&100+80t+16t^{2}+16+8t+t^{2}+4t^{2}-4t+1 \nonumber \end{eqnarray}$$  

soit $$AM^{2}=f(t)=117+84t+21t^{2}$$

le minimum de $f$ est atteint lorsque $$\begin{eqnarray} f'(t)=0&\Leftrightarrow&84+42t=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&t=-2 \nonumber \end{eqnarray}$$   

soit une distance minimale $$\begin{eqnarray} d&=&\sqrt{f(-2)} \nonumber \\ &=&\sqrt{117-168+84} \nonumber \\ &=&\sqrt{33} \nonumber \end{eqnarray}$$