Bac maths, Polynésie

 

5 points

 

L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

 

On considère les points $A\left(\dfrac{2}{3}\;;\ -3\;;\ 2\right)$ et $B\left(-\dfrac{4}{3}\;;\ 0\;;\ -4\right).$

 

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $(S)$ la sphère de diamètre $[AB].$

 

1. Soit $E$ le barycentre des points pondérés $(A\;;\ 2)$ et $(B\;;\ 1).$

 

a. Calculer les coordonnées de $E$.

 

b. Montrer que l'ensemble $(P)$ des points $M$ de l'espace tels que $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}||=3||\overrightarrow{MO}||$$ est le plan médiateur du segment $[OE]$.

 

c. Montrer qu'une équation du plan $(P)$ est $y=-1$.

 

2. a. Calculer le rayon de la sphère $(S)$ et la distance du centre $I$ de la sphère au plan $(P).$

 

En déduire que l'intersection $(C)$ du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$ n'est pas vide.

 

b. Montrer qu'une équation de $(C)$ dans le plan $(P)$ est $$\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^{2}+(z+1)^{2}=12$$

   

En déduire que $(C)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

 

3. Soit $D$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3}\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 4\sqrt{3}-1\right).$

 

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(ID)$.

 

b. En déduire que la droite $(ID)$ est sécante au cercle $(C)$ en un point noté $F$ dont on donnera les coordonnées.

1. a. $x_{E}=\dfrac{1}{3}\left(2\times\dfrac{2}{3}+1\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)\right)=0\;,\ y_{E}=-2\;,\ z_{E}=0.$

 

b.

 

$\begin{array}{rcl} ||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}||=3||\overrightarrow{MO}||&\Leftrightarrow&3ME=3MO \\ \\ &\Leftrightarrow&ME=MO\end{array}$ 

 

$(P)$ est le plan médiateur du segment $[OE]$.

 

c.

 

$\begin{array}{rcl} ME=MO&\Leftrightarrow&(x-0)^{2}+(y+2)^{2}+(z-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2} \\ \\ &\Leftrightarrow&y^{2}+4y+4=y^{2}\end{array}$  

 

Donc, une équation du plan $(P)$ est $y=-1$.

 

2. a. $I$ a pour coordonnées : $\left(-\dfrac{1}{3}\;;\ -\dfrac{3}{2}\;;\ -1\right).$ Le rayon de $(S)$ est $$\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{4+9+36}=\dfrac{7}{2}$$ 

$$d(I\;,\ P)=\dfrac{\left|-\dfrac{3}{2}+1\right|}{1}=\dfrac{1}{2}$$ 

Comme cette distance est inférieure au rayon de $(S)$, il y a intersection.

 

b. On fait l'intersection entre $(S)$ et $(P)$ : $$\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+(z+1)^{2}=\dfrac{49}{4} \text{ et }y=-1$$

 

Soit

 

$\begin{array}{rcl} \left(x+\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(-1+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+(z+1)^{2}&=&\dfrac{49}{4} \\ \\ \Leftrightarrow\ \left(x+\dfrac{1}{3}\right)^{2}+(z+1)^{2}&=&\dfrac{49}{4}-\dfrac{1}{4}=12 \end{array}$

 

Le centre de $(C)$ est le point $\left(-\dfrac{1}{3}\;;\ -1\;;\ -1\right)\;,\ $ le rayon est $\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$

 

3. Soit $D$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3}\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 4\sqrt{3}-1\right).$

 

a.

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{IM}=t\overrightarrow{ID}&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+\dfrac{1}{3} &=& t\times 0\\ \\ y+\dfrac{3}{2} &=& t\times 1\\ \\ z+1 &=& t\times 4\sqrt{3} \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -\dfrac{1}{3}\\ \\ y &=& -\dfrac{3}{2}+t\\ \\ z &=& -1+t\times 4\sqrt{3} \end{array} \right.\end{array}$ 

 

b. On remplace dans l'équation de $(C)\ :$ 

 

$\begin{array}{lll} \left(x+\dfrac{1}{3}\right)^{2}+(z+1)^{2}&=&12\\\\\Rightarrow\;0+48t^{2}&=&12 \\ \\\Rightarrow\;t&=&\pm\dfrac{1}{2} \end{array}$  

 

soit les points $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -\dfrac{1}{3}\\ \\ y &=& -2\\ z &=& -1-2\sqrt{3} \end{array} \right.\text{ ou }\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -\dfrac{1}{3}\\ \\ y &=& -1\\ z &=& -1+2\sqrt{3} \end{array} \right.\;,\ $ mais seul le second est dans le plan $(P)$ !