Bac maths, Polynésie 2003

 

5 points

 

L'espace est rapporté à un repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ orthonormé. Soit $s$ un nombre réel.

 

On donne les points $A(8\;;\ 0\;;\ 8)\;,\ B(10\;;\ 3\;;\ 10)$ ainsi que la droite $D$ d'équations paramétriques $$\left\lbrace\begin{array}{lll} x &=& -5+3s\\ y &=& 1+2s \\ z &=& -2s \end{array} \right.$$

 

1. a. Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ définie par $A$ et $B.$

  

b. Démontrer que $D$ et $\Delta$ sont non coplanaires.

 

2. a. Le plan $P$ est parallèle à $D$ et contient $\Delta.$

 

Montrer que le vecteur $\vec{n}(2\;;\ -2\;;\ 1)$ est un vecteur normal à $P.$

 

Déterminer une équation cartésienne de $P$.

 

b. Montrer que la distance d'un point quelconque $M$ de $D$ à $P$ est indépendante de $M.$

 

c. Donner un système d'équations paramétriques de la droite définie par l'intersection de $P$ avec le plan $(xOy).$

 

3. la sphère $S$ est tangente à $P$ au point $C(10\;;\ 1\;;\ 6)$. Le centre $\Omega$ de $S$ se trouve à la distance $d=6$ de $P$, du même côté que $O.$ 

 

Donner l'équation cartésienne de $S$.

1.a.

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& 8+2t\\ y &=& 3t\\ z &=& 8+2t \end{array} \right.$$

 

b. $D$ et $\Delta$ sont coplanaires soit parce qu'elles sont parallèles or leurs vecteurs directeurs sont $\vec{u}=\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\;,$  et $\vec{v}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ -2\end{pmatrix}$ qui ne sont pas colinéaires, soit parce qu'elles sont sécantes : $$\begin{eqnarray} \left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& 8+2t=-5+3s\\ y &=& 3t=1+2s\\ z &=& 8+2t=-2s \end{array} \right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} -5+3s &=& -2s\\ 3t&=&1+2s\\ 8+2t&=&-5+3s \end{array} \right. \nonumber \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} s&=&1\\ 3t&=&3\\ 8+2t&=&-2 \end{array} \right.\nonumber \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} s&=&1\\ t&=&1\\ 10&=&-2 \end{array} \right.\quad\text{ce qui ne marche pas}\nonumber \end{eqnarray}$$

 

2. a. $\vec{n}(2\;;\ -2\;;\ 1)$ est orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}$ de $D$ : $$\begin{eqnarray} \vec{u}\cdot\vec{n}&=&\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\ &=&4-6+2 \nonumber \\ &=&0 \nonumber \end{eqnarray}$$ c'est bien un vecteur normal à $P$ puisque $D$ est parallèle à $P$. Un point de $P$ est par exemple un point de $\Delta$ : pour $s=0$ , $C(-5\;;\ 1\;;\ 0).$ $$\begin{eqnarray} \overrightarrow{CM}\cdot\vec{n}=0&\Leftrightarrow&\ldots\ldots \nonumber \\ &\Leftrightarrow&2x-2y+z+12=0 \nonumber \end{eqnarray}$$  

 

b. Cherchons la distance entre $M$ sur $D$ et $P$ : $$d(M,\ P)=\dfrac{|2(8+2t)-2(3t)+(8+2t)+12|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{|36|}{3}=12$$  

Ceci dit c'est évident, si $D$ est parallèle à $P$, la distance de $D$ à $P$ est forcément constante...

 

c.

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x-2y+z+12 &=& 0\\ z &=& 0 \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& t-6\\ y &=& t\\ z &=& 0 \end{array} \right.$.

 

3. $C\Omega)$ est orthogonal au plan $P$ puisque la sphère est tangente en $C$ à $P$. On cherche $\Omega$ tel que $\overrightarrow{C\Omega}=k\vec{n}\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x_{\Omega} &=& 10+2k\\ y_{\Omega} &=& 1-2k\\ z_{\Omega} &=& 6+k \end{array} \right.$.

 

La distance $C\Omega=6$ , soit $$\begin{eqnarray} (x_{\Omega}-10)^{2}+(y_{\Omega}-1)^{2}+(z_{\Omega}-6)^{2}=36&\Rightarrow&k^{2}=4 \nonumber \\ &\Rightarrow&k=\pm 2 \nonumber \end{eqnarray}$$  

On a donc deux points possibles : $(4\;;\ -3\;;\ 8 )$ et $(6\;;\ 5\;;\ 4)$; le plus près de $O$ est le deuxième, c'est le point cherché.