Bac maths, Pondicherry 2008

Classe: 
Terminale
 

Tétraèdre :


4 points
 
On considère un tétraèdre ABCD.

On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].

 
On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D.

 

 
1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.
 
Dans la suite de l'exercice on suppose que AB=CD, BC=AD et AC=BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques)
 
2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.
 
b. En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.
   
3. a. Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).
 
b. Quelle est la valeur du produit scalaire IJMK ? En déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB).
   
Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
 
c. Montrer que G appartient au plans médiateurs de [AB] et [CD].
 
d. Dans cette question, toute trace de recherche, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
 
Comment démontrait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

Correction

1. G est le barycentre de {(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)} ; c'est donc celui de {(I, 2), (J, 2)}, de {(K, 2), (L, 2)} et de {(M, 2), (N, 2)} en utilisant les barycentres partiels. Donc G est sur chacune des droites (IJ), (KL) et (MN) qui sont bien sécantes en G.

 

 
Dans la suite de l'exercice on suppose que AB=CD, BC=AD et AC=BD.  (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques).
 
2. a. On a (IK) et (LJ) parallèles à (AC) par Thalès ainsi que IK=LJ=12AC; de même (JK) et (LI) sont parallèles à (BD) et JK=LI=12BD; c'est donc un parallélogramme et comme AC=BD les quatre côtés ont même longueur, c'est un losange.
 
Le même raisonnement est valable pour les losanges IMJN et KNLM.
 
b. Dans un losange les diagonales sont orthogonales donc (IJ) et (KL) sont orthogonales. De même (IJ) et (MN) sont orthogonales et (KL) et (MN) sont orthogonales.
 
3. a. La droite (IJ) est orthogonale à (MN) et (KL), soit deux droites distinctes du plan (MKN).
 
(IJ) est orthogonale au plan (MKN).
 
b. Évidemment IJMK=0...et comme (MK) est parallèle à (AB), (IJ) est orthogonale à la droite (AB).
 
On rappelle qu'une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
 
(IJ) est orthogonale au plan (MKN), aux droites (ML) et (NK) et donc à la droite (CD).
 
c. G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD] si on a GA=GB et GC=GD.
 
Par exemple on a GA2=GI2+AI2=GI2+BI2=GB2car (GI) est orthogonale à (AB) 
 
d. Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD, il faut montrer que GA=GB=GC=GD. 
 
On a déjà GA=GB et GC=GD, il reste à montrer que GB=GC, ou encore que (GK) est orthogonale à (BC), ce qui s'obtient comme précédemment.
 

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