Bac maths, Pondicherry 2008

 

4 points

 

On considère un tétraèdre $ABCD$.

On note $I\;,\ J\;,\ K\;,\ L\;,\ M\;,\ N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]\;,\ [CD]\;,\ [BC]\;,\ [AD]\;,\ [AC]$ et $[BD].$

 

On désigne par $G$ l'isobarycentre des points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D.$

1. Montrer que les droites $(IJ)$, $(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G.$

 

Dans la suite de l'exercice on suppose que $AB=CD\;,\ BC=AD$ et $AC=BD.$ (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial car ses faces sont isométriques)

 

2. a. Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM.$

 

b. En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.

   

3. a. Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN).$

 

b. Quelle est la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(AB).$

   

Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD).$

 

c. Montrer que $G$ appartient au plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD].$

 

d. Dans cette question, toute trace de recherche, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

 

Comment démontrait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ?

1. $G$ est le barycentre de $\{(A\;,\ 1)\;,\ (B\;,\ 1)\;,\ (C\;,\ 1)\;,\ (D\;,\ 1)\}$ ; c'est donc celui de $\{(I\;,\ 2)\;,\ (J\;,\ 2)\}\;,$ de $\{(K\;,\ 2)\;,\ (L\;,\ 2)\}$ et de $\{(M\;,\ 2)\;,\ (N\;,\ 2)\}$ en utilisant les barycentres partiels. Donc $G$ est sur chacune des droites $(IJ)\;,\ (KL)$ et $(MN)$ qui sont bien sécantes en $G.$

Dans la suite de l'exercice on suppose que $AB=CD\;,\ BC=AD$ et $AC=BD.\ $ (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial car ses faces sont isométriques).

 

2. a. On a $(IK)$ et $(LJ)$ parallèles à $(AC)$ par Thalès ainsi que $IK=LJ=\dfrac{1}{2}AC\;;$ de même $(JK)$ et $(LI)$ sont parallèles à $(BD)$ et $JK=LI=\dfrac{1}{2}BD\;;$ c'est donc un parallélogramme et comme $AC=BD$ les quatre côtés ont même longueur, c'est un losange.

 

Le même raisonnement est valable pour les losanges $IMJN$ et $KNLM$.

 

b. Dans un losange les diagonales sont orthogonales donc $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. De même $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.

 

3. a. La droite $(IJ)$ est orthogonale à $(MN)$ et $(KL)$, soit deux droites distinctes du plan $(MKN).$

 

$(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN).$

 

b. Évidemment $\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{MK}=0$...et comme $(MK)$ est parallèle à $(AB)\;,\  (IJ)$ est orthogonale à la droite $(AB).$

 

On rappelle qu'une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

 

$(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$, aux droites $(ML)$ et $(NK)$ et donc à la droite $(CD)$.

 

c. $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$ si on a $GA=GB$ et $GC=GD.$

 

Par exemple on a \begin{eqnarray} GA^{2}&=&GI^{2}+AI^{2} \nonumber \\ &=&GI^{2}+BI^{2} \nonumber \\ &=&GB^{2}\quad \text{car } (GI) \text{ est orthogonale à }(AB) \nonumber \end{eqnarray} 

 

d. Pour démontrer que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$, il faut montrer que $GA=GB=GC=GD.$ 

 

On a déjà $GA=GB$ et $GC=GD$, il reste à montrer que $GB=GC\;,$ ou encore que $(GK)$ est orthogonale à $(BC)$, ce qui s'obtient comme précédemment.