BACCALAUREAT BLANC

Exercice 1

Recopie sur la copie le numéro de la question, puis la seule réponse correcte parmi $a, b$ et $c$.
1. $A$ et $B$ sont deux évènements  indépendants d’une même expérience aléatoire $P(A) ≠ 0$ et $P(B) ≠0$
a)$P(A∩B) = 0$                      b) $P(A∩B) = 1$                 c) $P(A∩B) = P(A) x P(B)$
2. $f$ est une fonction définie par $f(x)=ax^5+5x^{4}-12$ ; a réel telle que la limite de $f$ en $+∞$ soit égal à $- ∞$
a) $a>0$                             b) $a<0$                            c) $a=0$
3. L’inéquation     $ln(x+7)>ln(x-2)$ a pour ensemble des solutions
a)$S=]2; +∞]$       b) $S=]-7; +∞]$       c) n’admet pas de solutions    
4. Soit $(U_{n})$, la suite geometrique de premier terme $U_0=2$ et de raison  $2$.
a) $U_{n}=2+\frac{1}{2} n$        b) $U_n=2^{n-1}$     c)$U_{n}=2^{n+1}$
5. Pour tout réel $x$ la fonction  $f(x)=e^{(2x+7)}$ admet pour fonction dérivée  :
a)  $2(2x+7)$                               b)$2xe^{(2x+7)}$                            c) $2e^{(2x+7)}$

Exercice2

Dans le plan complexe muni d’un repère orthogonal direct $(O, ū’, ṽ)$, on considère les points $A, B, C, D$
d’affixes respectives $Z_{A} = -√3 - i ; Z_{B}  = 1- i√3  ; Z_{C} =√3 + i ;Z_{D} = -1 + i√3$ .
1 a) Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes $ZA ; ZB ;ZC ; ZD$.
b) Construire à la règle et un compas les points $A ; B ; C ;$ et $D$  (on prendra pour unité graphique $2cm$).
   c) Déterminer le milieu du segment $[AB]$, celui du segment $[BD]$.Calculer le quotientZB/ZA .
_En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
2. On considère la similitude direct $g$ dont l’écriture complexe est  $Z’ = e^{-i \frac{π}{3}} Z + 2$
   a) Donner les éléments caractéristiques de $g$.
   b) Construire à la règle et au compas les images respectives $E, F$, et $J$ par $g$ des $A, C,$ et $O$.
   c) Que constate-t-on concernant ces points $E, F$ et $J?$ Le démontrer.

Exercice 3

On dispose d’un sac $S_{1}$ contenant $3$ jetons rouges, $2$ jetons
noirs et $1$ jeton vert ; d’un sac $S_{2}$ contenant $2$ jetons rouges, $4$ jetons noirs et $2$ jetons verts.
On suppose que les sacs ont la même probabilité d’être choisie et qui est égale à $\frac{1}{2}$.
Un élève choisit un sac au hasard et $y$ tire un jeton. Soit les évènements ; $A$ :<< lesac $S_{1}$ est choisi >> ;
 $B$: << lesac $S_{2}$ est choisi >> ; $R$ :<< le jeton tiré est rouge >> ; $N$:<< le jeton tiré est noir >> et $V$ : << le jeton tiré est vert >>
1. Calculer $P(R/A)$  et $P(R/B)$
2.Calculer $P(R∩A)$ et $P( R∩B )$
3.En déduire $P(R )$
4. Sachant que le jeton tiré est noir calculer la probabilité qu’il provienne dusac $S_{1}$
5. il répète 5 fois cette expérience, calculer la probabilité qu’il tire exactement $2$ fois un jeton noir

Exercice 4

PARTIE A

Soit g la fonction définie sur $]0; +∞[$ par $g(x)=x^{2} + 2-2lnx$
1. On note $g'$ la fonction dérivée de $g$  . Calculer $g' (x)$ et déterminer son signe.
2. a. Etudier les variations de $g$ .Calculer g(1) et dresser le  tableau de variation de $g$.
     b. En déduire le signe de $g$ sur $]0; +∞[$

PARTIE B

Soit $f$ la fonction définie sur $IR$ par : $f(x)=x-2+ \frac{2lnx}{x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal$(O,I ,J)$
1. Détermine la limite de $f$ en $0$ et en $+ ∞$
 2. a. Démontrer que la droite $(D)$ d’équation  $y=x-2$  est asymptote à la courbe de $f$ au voisinage de $+ ∞$
      b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection  $A$ de $(C)$  et $(D)$
     c. Etudier la position de$(C)$ par rapport à $(D)$
3. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$
   a. Montrer que $f' (x)=\frac{g(x)}{x^{2}}$   pour tout $x$ de $]0; +∞[$
   b. En déduire le signe de $f' (x)$  et dresser le tableau de variation de $f$.
4. Démontre que l’équation $f(x)=0$  admet une solution unique α dans l’intervalle $[1,4 ; 1,5]$
5. Représenter graphiquement $(D)$ et $(C)$ .

PARTIE C

Soit la fonction $h$ définie sur $]0; +∞[$  par $h(x)=(lnx)^{2}$
1. Calculer $h'(x)$  .
2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$  sur $]0; +∞[$  .